Lectures: Funktionentheorie

Funktionentheorie 1 - 3 (SS 02 - SS 03 bzw. WS 04/05)

Funktionentheorie 1 (SS 02)

Titel  (Titelseite, Inhalt, Literatur)

Kapitel 1  (Holomorphe Funktionen)

1. Komplexe Zahlen
2. Komplexe Funktionen
3. Potenzreihen
4. Komplexe Differenzierbarkeit

Kapitel 2  (Integration im Komplexen)

1. Der Satz von Goursat
2. Die Cauchyschen Integralformeln
3. Die Umlaufszahl

Kapitel 3  (Isolierte Singularitäten)

1. Die Laurententwicklung
2. Der Residuensatz
3. Integralberechnungen

Kapitel 4  (Biholomorphe Abbildungen)

1. Automorphismen von Gebieten

Tutorium zur Funktionentheorie 1

Das Tutorium enthält einen kurzen Abriss der wichtigsten Sätze und Definitionen von Funktionentheorie 1, sowie Aufgaben und Lösungen. Es sollte Staatsexamenskandidaten als Lernhilfe dienen.

Funktionentheorie 2, WS 02/03, Kapitel 1

Titel  Titelseite, Inhalt, Literatur

1.1  Automorphismen von Gebieten

1.2  Funktionenräume

1.3  Der Riemannsche Abbildungssatz

Der Rest der Vorlesung war weitgehend identisch mit den Inhalten der Funktionentheorie 2 im WS 04/05.

Funktionentheorie 2, WS 04/05

Kapitel 1: Meromorphe Funktionen

1.1  Der Satz von Mittag-Leffler

1.2  Der Weierstraßsche Produktsatz

1.3  Die Γ-Funktion

1.4  Der Rungesche Approximationssatz

1.5  Meromorphe Funktionen auf beliebigen Gebieten

Kapitel 2: Konforme Abbildungen

1.1  Der Riemannsche Abbildungssatz

1.2  Holomorphe Fortsetzung

1.3  Randverhalten

1.4  Differentialmetriken

1.5  Die Picardschen Sätze

1.6  Julia-Mengen

Anhang:

Komplexe Analysis von mehreren Veränderlichen

1. Holomorphe Funktionen
2. Analytische Mengen

Funktionentheorie 3, SS 03

Titel  Titelseite, Inhalt, Literatur

Kapitel 1: Holomorphiegebiete

§ 0 - 2

0. Einführung
1. Das Kontinuitätsprinzip
2. Plurisubharmonische Funktionen

§ 3 - 4

1. Pseudokonvexität und Levi-Bedingung
2. Holomorphie-Konvexität

Kapitel 2: Analytische Mengen

Kapitel 2, § 1 - 5

1. Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz
2. Die Algebra der Potenzreihen
3. Verzweigte Überlagerungen
4. Reguläre und singuläre Punkte
5. Meromorphe Funktionen und algebraische Mengen

Anhang

Anhang

1. Immersionen, Submersionen, Quotienten-Mannigfaltigkeiten,
   insbesondere Hopf-Mannigfaltigkeiten, projektive Räume und Graßmann-Mannigfaltigkeiten

Komplexe Analysis (SS 07)

(Fortsetzung der Funktionentheorie aus Analysis 3, WS 06/07)



Provisorische Ausarbeitung

Kapitel 1: Konforme Abbildungen

1. Der Wirtinger-Kalkül

   (inkl.: Harmonische Funktionen, Geometrie im Cⁿ, holomorphe Funktionen und Potenzreihen im Cⁿ, Reinhardt'sche Gebiete)

2. Möbius-Transformationen

   (inkl.: Riemannsche Zahlenkugel, Schwarz'sches Lemma, hyperbolische Geometrie)

3. Normale Familien

   (inkl.: Sätze von Hurwitz und Montel)

4. Der Riemann'sche Abbildungssatz

   (inkl.: Erweiterung auf den Cⁿ)

5. Einfach-zusammenhängende Gebiete

   (inkl.: Ketten und Zyklen, allgemeiner Cauchyscher Integralsatz, Homotopie von Wegen)

6. Randverhalten

   (inkl.: Spiegelungsprinzip, Satz von Caratheodory, Formel von Schwarz-Christoffel)

7. Holomorphe Fortsetzung

   (inkl.: Monodromiesatz, Satz von Hartogs)

Kapitel 2: Meromorphe Funktionen

1. Der Satz von Mittag-Leffler

   (inkl.: Bernoulli'sche Zahlen, Eulersche Summenformeln)

2. Runge-Approximation
3. Der Weierstraß'sche Produktsatz

   (inkl.: Unendliche Produkte, Wallis'sche Formel)

4. Die Γ-Funktion

   (inkl.: Riemannsche Zeta-Funktion

5. Elliptische Funktionen

Komplexe Analysis von mehreren Veränderlichen (WS 07/08)

(Holomorphe Funktionen, Mannigfaltigkeiten, Holomorphiegebiete, Dolbeault-Theorie)

Kapitel 1: Holomorphe Funktionen

1.1  Komplexe Differenzierbarkeit

1.2  Das Cauchy-Integral

1.3  Holomorphe Abbildungen

1.4  Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz

1.5  Komplexe Mannigfaltigkeiten

Kapitel 2: Holomorphiegebiete

2.1  Der Kontinuitätssatz

2.2  Plurisubharmonische Funktionen

2.3  Pseudokonvexität

2.4  Holomorphie-Konvexität

2.5  Dolbeault-Theorie

Einführung in die Funktionentheorie (SS 2017)

Der Inhalt ist - gemäß Modulhandbuch - die 'klassische' Funktionentheorie 1.