Research

Fachgebiet: Komplexe Analysis von mehreren Veränderlichen

Komplexe Zahlen
Holomorphe Funktionen
Geometrie des Cⁿ
Holomorphe Funktionen von mehreren Veränderlichen
Holomorphiegebiete und Pseudokonvexität
Garben und Cohomologie
Komplexe Mannigfaltigkeiten
Komplexe Räume
Platte holomorphe Abbildungen
Differenzierbare Strukturen auf komplexen Räumen
q-konvexe Restmengen in kompakten komplexen Räumen
Der projektive Raum und algebraische Mannigfaltigkeiten
Homogene Untermannigfaltigkeiten
Komplemente von Orbits der Cohomogenität 1
Komplemente von Grassmann-Mannigfaltigkeiten
Die Veronese-Fläche

Schwerpunkte:

Cohomologie von kohärenten analytischen Garben
Differenzierbare Strukturen auf komplexen Räumen
Differentialgeometrie quasi-projektiver Mannigfaltigkeiten
q-Konvexität und q-Vollständigkeit

[Dipl] K. Fritzsche:
Einige Eigenschaften platter holomorpher Abbildungen
Diplomarbeit, Göttingen 1971.
Platte Moduln (Flat modules), Komplettierungen und Plattheitskriterien, Anwendung auf analytische Algebren, platte Morphismen zwischen komplexen Räumen, Plattheit von Basiserweiterungen, Stein'sche Kompakta, Satz von Frisch (Analytizität der Menge der nicht platten Punkte eines Morphismus), offene Abbildungen, Offenheit platter Morphismen, Zusammenhang mit der Macaulay-Eigenschaft.

[FtmV] H. Grauert / K. Fritzsche:
Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher
Springer - Hochschultext 1974.
Lehrbuch auf Grundlage von Vorlesungen von Prof. Dr. Hans Grauert (ca. 220 Seiten): Holomorphe Funktionen von mehreren Veränderlichen, Holomorphiegebiete, Hartogs-Konvexität und Holomorphiekonvexität, Riemann'sche Gebiete und Holomorphiehüllen, Potenzreihenalgebren, Weierstraß'scher Vorbereitungssatz, analytische Mengen, Garbentheorie, komplexe Mannigfaltigkeiten, projektiver Raum und andere Abschlüsse des Cⁿ, Cohomologietheorie, Stein'sche Mannigfaltigkeiten, Differentialformen, Sätze von Dolbeault und de Rham.

[Diss] K. Fritzsche:
q-konvexe Restmengen in kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten
Dissertation Göttingen 1975
und Math. Ann. 221, 251 - 273 (1976).
Differenzierbare Strukturen auf komplexen Räumen, Tangentialräume und Differentialformen, die Levi-Form, q-konvexe Funktionen, q-konvexe Räume, globale q-Konvexität, lineare (Faser-)Räume und Vektorbündel, das Tangentialbündel eines linearen Faserraumes, kanonische Sequenzen, unitäre lineare Räume, Positivität und r-Positivität, Normalenbündel komplexer Unterräume, insbesondere (lokal) vollständige Durchschnitte, die Faserableitung, der Begriff “genügend q-konkav/konvex”, der Hauptsatz (über die q-Konvexität von Komplementen komplexer Unterräume in komplexen Mannigfaltigkeiten), Beispiele, insbesondere Komplemente globaler vollständiger Durchschnitte im projektiven Raum, eine Charakterisierung der schwach-negativen Vektorbündel.

[FtmV] H. Grauert / K. Fritzsche:
Several Complex Variables
Springer - Graduate Texts in Mathematics 38.
Englische Übersetzung der “Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher”.

[CoAS] K. Fritzsche:
Pseudoconvexity Properties of Complements of Analytic Subvarieties
Math. Ann. 230, 107 - 122 (1977).
Fortsetzung und Ergänzung der Dissertation, entstanden am SFB in Bonn: Mit Hilfe der “Isolationszahl” wird die lokale Geometrie linearer Faserräume untersucht, es werden Finsler-Metriken eingeführt und der Zusammenhang zwischen “ampel”, “sehr ampel”, “positiv” und“Finsler-positiv” hergestellt. Hauptsatz: Sei X ein kompakter Raum, Y ein abgeschlossener Unterraum, N das verallgemeinerte Normalenbündel und q die maximale Dimension der Fasern von N. Ist N Finsler-positiv, so ist X-Y q-konvex. Der Beweis verwendet die gleichen Ideen wie die Dissertation, ist aber technisch komplizierter, weil auch der umgebende Raum Singularitäten haben kann.

Die Aufgabe, allgemeine Aussagen über die Konvexität von Komplementen von Unterräumen zu machen, war damit erschöpfend gelöst. Ist ein komplexer Raum X q-konvex, so folgt aus der berühmten Arbeit von Andreotti und Grauert (Théorème de finitude ...), dass die Cohomologiegruppen Hⁱ(X,F) für kohärente analytische Garben F und i≥q endlich sind. Für genügend großes i verschwinden sie sogar, i.a. aber eben nicht für i=q.

Es ergab sich die natürliche Frage, ob es ein geometrisches Hindernis dafür gibt, dass H^q verschwindet, und ob dieses Hindernis Schlüsse auf die (endliche) Dimension von H^q zulässt. Ich konnte Mike Buchner (globale Analysis) und Takashi Sakai (Differentialgeometrie) für diese Fragestellung sensibilisieren, woraus die folgende Arbeit entstand, die völlig neue Aspekte in die Theorie der q-Konvexität brachte. Wir konzentierten uns auf die Untersuchung von Komplementen homogener algebraischer Untermannigfaltigkeiten im projektiven Raum.

[BFS] M. Buchner / K. Fritzsche / T. Sakai:
Geometry and cohomology of certain domains in the complex projective space.
Journal für die reine und angewandte Mathematik 323, 1 - 52 (1981).
Charakterisierung des “Schnittortes” C(Y) einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit Y in einer kompakten Riemann'schen Mannigfaltigkeit X, Zusammenhang mit der Menge der Punkte, wo das Quadrat des Abstandes von Y nicht differenzierbar ist, Untersuchung von Transformationsgruppen mit 1-codimensionalen Prinzipalorbits, Einführung des Begriffes “normal-homogen” für Untermannigfaltigkeiten, differentialgeometrische Charakterisierung und Beschreibung des Orbitraumes. Die Theorie wird angewandt auf die Fubini-Study-Metrik im Pⁿ, und es werden Sätze über die Cohomologiegruppen im kritischen Bereich bewiesen. Mit Hilfe eines Satzes aus der Differentialgeometrie von Hsiang und Lawson werdn sämtliche normal-homogene Untermannigfaltigkeiten des projektiven Raumes bestimmt (lineare Unterräume, Segre-Einbettung, Hyperquadrik, Plückereinbettung von G_2,5 in P⁹ und die Halbspin-Einbettung von SO(10)/U(5) in P¹⁵. Alle diese Beispiele werden genau untersucht, cohomologische und analytische Konvexität und Vollständigkeit, sowie die singuläre Cohomologie des Komplements berechnet. Es wird eine interessanter Zusammenhang mit der CR-Dimension entdeckt, diese Dimension stimmt in allen Fällen mit der “cohomologischen Dimension” überein.

[BFGrass] M. Buchner / K. Fritzsche:
The Cohomological and Analytic Completeness of P(A²Cⁿ)-G_2,n
Math. Ann. 261, 327 - 338 (1982).
Der einfachste nicht normal-homogene Fall findet sich in Form der Plückereinbettung von G_2,n in P^N=P(A²Cⁿ), für n>5. Auch hier zeigt sich die Äquivalenz von analytischer und cohomologischer q-Vollständigkeit. Zum Beweis wird u.a. die Stratifikation mit Schubertzyklen benutzt.

[BFDim] M. Buchner / K. Fritzsche:
On the Dimension of Analytic Cohomology
Math. Zeitschr. 179, 375 - 385 (1982).
Im Falle der Segre-Einbettung von P¹×:P² in P⁵ wird die Cohomologie auf neue (konstruktive) Weise berechnet. Unter Ausnutzung einer Faserbündelstruktur wird explizit eine Basis des Raumes der Cozyklen (in Form von Potenzreihen) konstruiert.

[luBQ] K. Fritzsche:
Linear-uniforme Bündel auf Quadriken
Annali Scuola Normale Superiore - Pisa, Serie IV - Vol. X, n. 2 (1983).
Es handelt sich um einen Auszug aus der Habilitationsschrift, die sich mit der Klassifikation von Vektorbündeln auf Quadriken beschäftigte. Zunächst wird die Geometrie von Quadriken und der Mengen der auf ihnen liegenden linearen Unterräume untersucht. Nach einem Satz von Grothendieck spaltet jedes Vektorbündel auf P¹ in eine direkte Summe von Geradenbündeln O(k). Ein Bündel E vom Rang 2 über einer Quadrik Q_m heißt linear-uniform vom Typ a, falls E_|L=O_L+O_L(a) für alle Geraden L in Q_m gilt. Ein Grauert-Mülich-Satz beschreibt das Spaltungsverhalten von semistabilen 2-Bündeln auf Q_m, für m ≥ 3. Über Q₂ sind linear-uniforme 2-Bündel entweder zerlebar oder unzerlegbar und doppelt-reduzibel im Sinne von Schwarzenberger. Über Q₄=G_2,4 sind sie entweder zerlegbar oder isomorph zum tautologischen Bündel oder seinem Quotientenbündel. Die Situation über Q₃ ergibt sich durch Einschränkung von Q₄. Ist m ≥ 5, so spaltet jedes linear-uniforme 2-Bündel über Q_m.

[Klass] K. Fritzsche:
Zur Klassifikation der 1-konvexen komplexen Räume
Schriftenreihe des SFB Geometrie und Analysis in Göttingen (19)
und Aspects of Mathematics / Proccedings of the International Workshop Wuppertal 1990.
Ist X ein 1-konvexer (reduzierter) komplexer Raum, so gibt es (nach Grauert: Exzeptionelle Mengen ...) eine maximale kompakte analytische Teilmenge S von X. Es wird die Äquivalenz der folgenden Aussagen gezeigt: 1) X ist q-vollständig, 2) X ist cohomologisch q-vollständig, 3) dim(S) ≤ q-1. In diesem Falle ist tatsächlich S das gesuchte Hindernis.

Wenn sich die Indizien für die (allgemeine) Äquivalenz von cohomologischer und analytischer Vollständigkeit häufen, fängt man an, daran zu glauben. Und dann begegnet man dem Bild V von P² unter der Veronese-Einbettung in P⁵. Das Komplement X von V ist 3-konvex, kann aber aus topologischen Gründen nicht 3-vollständig sein. Dennoch deuten viele Indizien darauf hin, dass X cohomologisch 3-vollständig ist. Leider konnte diese Frage bis heute nicht entschieden werden. Ich vermute inzwischen, dass die analytische q-Vollständigkeit nicht allein aus der cohomologischen folgt, dass man vielmehr noch eine topologische Bedingung braucht.

[MfE1] K. Fritzsche:
Mathematik für Einsteiger, (1. Auflage)
Spektrum Akademischer Verlag 1995.
Ein Vor- und Brückenkurs zum Studienbeginn (302 Seiten): Wie wahr ist die Mathematik?, von Mengen und Unmengen, unendlich viele Zahlen, auf dem Weg ins Irrationale, Eins hängt vom Andern ab, allerlei Winkelzüge, das Parallelogramm der Kräfte, Extremfälle, die Kunst des Integrierens, imaginäre Welten.

[fHFtCM] K. Fritzsche / H. Grauert:
From Holomorphic Functions to Complex Manifolds
Springer - Graduate Texts in Mathematics 213 (2002).
Neufassung der “Einführung in die Funktionentheorier mehrerer Veränderlicher knapp 400 Seiten): I) Holomorphic Functions (Fritzsche, erweitert), II) Domains of Holomorphy (Fritzsche, stark erweitert und neu formuliert), III) Analytic Sets (Fritzsche/Grauert, stark erweiterter Inhalt und einige völlig neue Abschnitte), IV) Complex Manifolds (Fritzsche, komplett neu), V) Stein Theory (Grauert, komplett neu), VI) Kähler Manifolds (Fritzsche/Grauert, viele neue Teile), VII) Boundary Behavior (Grauert/Fritzsche, komplett neu). Besonderheiten: Theorie der analytischen Mengen ganz ohne Garbentheorie, komplexe Vektorbündel und ihre Cohomologie, Divisoren und Geradenbündel, Konstruktion komplexer Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Gruppenoperationen, verzweigte Riemann'sche Gebiete, Lösung des Levi-Problems á la Grauert, Ströme und Hodge-Theorie, Kodaira-Einbettung, Kähler- und Hopfmannigfaltigkeiten, subelliptische Abschätzungen und Neumann-Problem, Randverhalten von biholomorphen Abbildungen.

[EuGeo] K. Fritzsche:
Was ist Euklidische Geometrie
Festschrift für Harald Scheid, Klett-Verlag 2004.
Überlegungen, wie Euklids Axiome und Sätze konstruktiv aufgefasst werden können. Vorführung eines modernen Axiomensystems im Geiste Euklids. Zusammenhang zwischen Konstruierbarkeit und Modellen für die Geometrie.

[GkA1] K. Fritzsche:
Grundkurs Analysis 1
Spektrum Akademischer Verlag 2005.
Versuch einer stärker didaktisch aufbereiteten Einführung in die Analysis (366 Seiten, 2-farbig): 1) Die Sprache der Analysis (Logik, Mengenlehre, Axiome von R, Funktionen und Vektoren), 2) Der Grenzwertbegriff (Folgen und Reihen von Zahlen und Funktionen, Riemann-Integration als Flächenberechnung), 3) Der Calculus (Ableitung, Stammfunktionen, Integration, Bogenlänge und Krümmung, lineare DGLn), 4) Vertauschung von Grenzprozessen (Gleichmäßige Konvergenz, Taylor-Entwicklung, uneigentliche und Parameter-Integrale).

[GkA2] K. Fritzsche:
Grundkurs Analysis 2
Spektrum Akademischer Verlag 2006.
Fortsetzung von Teil 1 (366 Seiten, 2-farbig): 1) Differentialrechnung in mehreren Variablen (Geometrie euklidischer Vektorräme, Differenzierbarkeit, Extremwerte, Umkehrsatz, implizite Funktionen, Lagrange-Multiplikatoren, Kurvenintegrale), 2) Lebesgue-Theorie (Treppenfunktionen, Nullmengen, Lebesgue-Integral, Grenzwertsätze, messbare Mengen und Funktionen, Fubini), 3) Integralsätze (Transformationsformel, Sätze von Green, Stokes und Gauß, knappe Einführung der Differentialformen), Anhang über die benutzten Ergebnisse der Linearen Algebra.

[MfE4] K. Fritzsche:
Mathematik für Einsteiger, 4. Auflage
Spektrum Akademischer Verlag 2007.
Überarbeitete Neuauflage (400 Seiten), 2-farbig im Stile der Grundkurse, gegenüber der Erstauflage veränderte Inhalte (insbesondere in der Geometrie und der Vektorrechnung), umfangreicher Übungsteil, Lösungen.