Lectures: Analysis

Analysis 1 - 3 (WS 00/01 - WS 01/02)

Den Analysis-Zyklus zur Jahrtausend-Wende habe ich mit großem Enthusiasmus begonnen. Schon früh führte ich metrische Räume ein. Lebesgue-Theorie, Differentialformen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten waren als Höhepunkte geplant. Wir wurden damals aber unverhofft von einer großen Zahl von IT-Studenten überrannt, die sich für den in diesem Semester startenden Studiengang 'Angewandte Informatik' mit 3 möglichen Schwerpunkten interessierten, in vielen Fällen aber hauptsächlich von ihrer Liebe zu Computer-Spielen motiviert waren. Das brachte das vorgesehene pädagogische Konzept ziemlich zum Wanken.

Analysis 1, Kapitel 1  (Zahlen, Folgen und Funktionen)

1. Mengen und Abbildungen
2. Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen
3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
4. Die Vollständigkeit von R
5. Folgen und Konvergenz
6. Reelle und komplexe Funktionen

Analysis 1, Kapitel 2  (Stetigkeit)

1. Metrische Räume
2. Stetige Abbildungen
3. Unendliche Reihen
4. Folgen und Reihen von Funktionen
5. Potenzreihen
6. Elementare Funktionen
7. Der Fundamentalsatz der Algebra

Analysis 1, Kapitel 3  (Differentialrechnung)

1. Die Ableitung
2. Der Mittelwertsatz
3. Differentialgleichungen
4. Die Taylor-Entwicklung
5. Anwendungen

Analysis 1, Kapitel 4  (Integralrechnung)

1. Stammfunktionen
2. Bestimmte Integrale
3. Uneigentliche Integrale

   Literaturverzeichnis



Analysis 2, Kapitel 1  (Funktionen von mehreren Variablen)

1. Topologische Strukturen
2. Partielle Differenzierbarkeit
3. Parameterintegrale
4. Die Bogenlänge
5. Pfaffsche Formen und Kurvenintegrale

Analysis 2, Kapitel 2  (Differentialrechnung im Rⁿ)

1. Totale Differenzierbarkeit
2. Höhere Ableitungen und Taylor-Formel
3. Der Umkehrsatz
4. Implizite Funktionen

Analysis 2, Kapitel 3  (Integrationstheorie)

1. Maßtheorie
2. Das Lebesgue-Integral
3. Konvergenzsätze
4. Der Satz von Fubini

Nach zwei Semestern verließen die meisten IT-Studenten den Analysis-Zyklus.

Analysis 3, Kapitel 1  (Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie)

1. Steilkurs zum Lebesgue-Integral
2. Die Transformationsformel
3. Integralberechnungen
4. Der Satz von Sard

Analysis 3, Kapitel 2  (Differentialformen im Rⁿ)

1. Alternierende Multilinearformen
2. Differentialformen
3. Das Poincarésche Lemma

Analysis 3, Kapitel 3  (Differenzierbare Mannigfaltigkeiten)

1. Differenzierbare Strukturen
2. Tangentialvektoren
3. Felder, Formen, Orientierungen
4. Immersionen und Submersionen

Analysis 3, Kapitel 4  (Der Satz von Stokes)

1. Reguläre Gebiete
2. Das Lebesgue-Integral auf Mannigfaltigkeiten
3. Die Riemannsche Metrik
4. Klassische Integralsätze

Analysis 3, Kapitel 5  (Differentialgleichungen)

1. Der Existenzsatz
2. Beispiele und Lösungsmethoden
3. Näherungslösungen und lokaler Fluss

Analysis 3, Kapitel 6  (Dynamische Systeme)

1. Lineare Systeme
2. Autonome Vektorfelder und globaler Fluss
3. Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten

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Analysis 1 - 3 (WS 08/09 - WS 09/10)

Analysis 1, Kapitel 1  (Die reellen Zahlen)

1. Sprachregelungen
2. Die Axiome der reellen Zahlen
3. Vollständigkeit und Konvergenz
4. Funktionen
5. Komplexe Zahlen und Polynome

Analysis 1, Kapitel 2  (Stetige Funktionen)

1. Grenzwerte von Funktionen
2. Unendliche Reihen
3. Potenzreihen
4. Elementare Funktionen

Analysis 1, Kapitel 3  (Differential- und Integralrechnung)

1. Differenzierbare Funktionen
2. Der Mittelwertsatz
3. Integrale und Stammfunktionen
4. Integrationsmethoden
5. Uneigentliche Integrale
6. Gleichmäßige Konvergenz
7. Die Taylorentwicklung

Analysis 2, Kapitel 1: Differentialrechnung in mehreren Variablen

2.1.1  Die Geometrie euklidischer Räume

2.1.2  Kurven

2.1.3  Differenzierbarkeit

2.1.4  Extremwerte

2.1.5  Der Umkehrsatz

2.1.6  Implizite Funktionen

Analysis 2, Kapitel 2: Integration in mehreren Variablen

2.2.1  Nullmengen und Treppenfunktionen

2.2.2  Integrierbare Funktionen

2.2.3  Das Riemann-Integral

2.2.4  Grenzwertsätze

2.2.5  Messbare Mengen und Funktionen

2.2.6  Der Satz von Fubini

Analysis 3, Kapitel 1: Funktionentheorie

3.1.1  Holomorphe Funktionen

3.1.2  Integration im Komplexen

3.1.3  Isolierte Singularitäten


Analysis 3, Kapitel 2  (Differentialgleichungen)

1. Beispiele und Methoden
2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz
3. Lineare Systeme
4. Systeme mit konstanten Koeffizienten
5. Pfaffsche Formen

Analysis 3, Kapitel 3  (Der Divergenzsatz)

1. Die Transformationsformel
2. Glatte Hyperflächen
3. Integration auf Hyperflächen
4. Die Sätze von Gauß und Stokes

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Analysis 3 (WS 10/11)

Der Kollege, der ab WS 09/10 Analysis 1 und 2 gelesen hatte, wollte diesen Zyklus nicht weiterführen. Deshalb habe ich angeboten, die Analysis 3 noch einmal zu lesen.
Es gab nur kleine Änderungen gegenüber der Version vom WS 09/10.

Analysis 3, Kapitel 1: Funktionentheorie

3.1.1  Holomorphe Funktionen

3.1.2  Integration im Komplexen

3.1.3  Isolierte Singularitäten

Analysis 3, Kapitel 2: Differentialgleichungen

3.2.1 und 3.2.2

1. Beispiele und Methoden
2. Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

3.2.3 und 3.2.4

3. Lineare Systeme
4. Systeme mit konstanten Koeffizienten

3.2.5  Pfaffsche Formen

Analysis 3, Kapitel 3: Der Divergenzsatz

3.3.1 und 3.3.2

1. Integration im Rⁿ
2. Glatte Hyperflächen

3.3.3 und 3.3.4

3. Integration auf Hyperflächen
4. Der Satz von Gauß