Journées d'Etudes 2023 du GDR Théorie de Lie Algébrique et Géométrique

Rennes, du 28 au 29 août 2023

Résumé des exposés

Les variétés de support pour les algèbres ont été introduites par Snashall et Solberg en 2004 en utilisant la cohomologie de Hochschild. Afin qu'elles aient de bonnes propriétés, telles que celles des variétés de support des groupes, Erdmann, Holloway, Snashall, Solberg et Taillefer ont ensuite introduit des conditions de finitude (Fg) sur la cohomologie de Hochschild. Par exemple, sous la condition (Fg), les variétés de support permettent de caractériser les modules périodiques et ceux dont la variété est une droite. La condition (Fg) a été étudiée et caractérisée de plusieurs manières depuis et des exemples d'algèbres qui satisfont à (Fg) ont été construits. Mais elle n'est pas facile à vérifier en pratique. Dans cet exposé, nous donnerons une condition nécessaire et suffisante facile à vérifier pour qu'une algèbre monomiale qui est d-Koszul ou, plus généralement, (D,A)-empilée, satisfasse à la condition (Fg). Ceci est un travail en commun avec Ruaa Jawad et Nicole Snashall.

(Travail en commun avec M. Brion et S. Kim.) Le but de cet exposé sera de décrire les " variétés des tangentes rationnelles minimales" (VMRT) des espaces symétriques complets. Bien que ces variétés aient un nombre de Picard plus grand que 1, on verra, qu'en général, elles ont une unique famille minimale et que la VMRT associée est toujours homogène. Un outil important est le système de racines restreint qui contient beaucoup d'informations sur la géométrie des ces espaces symétriques.

Soit u_q(g) le petit groupe quantique de Lusztig, associé à l'algèbre de Lie simple g et une racine de l'unité q. Le but de cet exposé est de donner un aperçu des résultats recents sur u_q(g) avec l'accent sur les liens entre sa structure et la géométrie classique et affine du groupe de Lie G. Du côté combinatoire cela mène à une borne inférieure pour la dimension du centre de u_q(g). Dans le type A_n on espère avoir l'égalité. L'exposé est basé sur les résultats obtenus en collaboration avec N. Hemelsoet, O. Kivinen et Qi You.

Si $G$ est un groupe fini, la catégorie des représentations de $G$ est équivalente à la catégorie des $\mathbb{C}[G]$-modules. Lorsque $G$ est un groupe réductif connexe défini sur un corps $p$-adique $F$, la catégorie des représentations de $G$ se décompose en blocs et il a été montré récemment en toute généralité que chacun de ces blocs est équivalent à la catégorie des modules sur une algèbre de Hecke, généralisant le résultat des groupes finis. Par ailleurs, la correspondance de Langlands prédit une relation entre les représentations irréductibles de $G$ et des représentations irréductibles du groupe de Weil-Deligne de $F$, appelées paramètres de Langlands. Pour réduire cette correspondance à des cas "fondamentaux", on définit des algèbres de Hecke pour les paramètres de Langlands et on les relit à celles définies pour $G$. Dans cet exposé, j'expliquerai d'expliquer comment tous ces objets sont définis et reliés. Travail en commun avec A.-M. Aubert et M. Solleveld.

Soit G un groupe p-adique. Une représentation de G est dite distinguée par rapport à un sous-groupe H si elle admet une forme linéaire H-invariante non-triviale. Les représentations distinguées sont des objets centraux dans l'étude du programme de Langlands relatif. Sur $\mathbb{C}$ elles ont été étudiées de manière intensive mais il reste beaucoup à faire pour les représentations modulaires, c'est-à-dire à coefficients dans $\overline{\mathbb{F}}_l$, où l est un nombre premier différent de p. Dans cet exposé, je vais parler des représentations modulaires distinguées pour la paire (G,H)=(GL_n(E),GL_n(F)), où E est une extension quadratique de F. Je parlerai également de la validité de la conjecture de Prasad (une conjecture décrivant la distinction à partir de la correspondance de Langlands) pour les représentations modulaires. Ce travail est en collaboration avec Peiyi Cui et Hengfei Lu.

Deligne-Lusztig varieties associated to a connected reductive group $G$ in characteristic $p>0$ are originally constructed for studying representations of $G(\mathbf{F}_p)$. Such representations have also been shown to be closely related to supercuspidal (complex) representations of p-adic groups. On the other hand, mod $p$ representations of $G(\mathbf{F}_p)$ coming from Deligne-Lusztig varieties are not well understood. In this talk, we discuss the geometry of Deligne-Lusztig varieties and related structures. Furthermore, we will give an overview on our study of the cohomology of the structure sheaf and canonical sheaf in the ${\rm GL}_n$-case. From our result we have additionally obtained the compactly supported mod $p$ cohomology groups of Deligne-Lusztig varieties for ${\rm GL}_n$.

Nous expliquerons plusieurs résultats récents qui développent des outils de géométrie algébrique en dimension infinie pour étudier la fibration de Springer affine et comment cela permet de construire une théorie des faisceaux caractères qui géométrise certains caractères de représentations de groupes p-adiques.

Having as aim to study the geometry of homogeneous projective varieties which are quotients X=G/P of a (semi)simple group G, we are interested in non-reduced parabolic subgroup schemes P in characteristic p>0. We assume the Picard group of X to be isomorphic to Z, so that the reduced part of P is a maximal parabolic. In all types and characteristics, except for p=2 in type G_2, such subgroups are all obtained by fattening with kernels of purely inseparable isogenies: this generalises works of Haboush-Lauritzen and Wenzel on the subject. We start by a classification of isogenies with simply connected source, based on the notion of very special isogeny introduced by Borel-Tits. Then we present a sketch of proof of the main result. We conclude with the case of G_2 in characteristic 2, which provides a complete classification in Picard rank one.