Algebra und Zahlentheorie

Vorlesung an der FU Berlin im Wintersemester 17/18

Kay Rülling

Inhalt

Die Lösungen der Gleichung \(X^2+aX+b=0\), mit komplexen Zahlen \(a,b\), sind gegeben durch \(X=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^2-4b}{4}}\). Es stellt sich nun die Frage, ob ähnliche Formeln für Lösungen allgemeiner polynomialer Gleichungen \(f(X)=X^n+ a_{n-1}X^{n-1}+\ldots + a_1 X+ a_0=0\) existieren. Genauer, wenn man die kleinste Teilmenge \(L\) der komplexen Zahlen betrachtet, die die Koeffizienten \(a_0, \ldots, a_{n-1}\) von \(f\) sowie alle Einheitswurzeln enthält und folgende Eigenschaften hat: Sind \(a\) und \(b\) Elemente von \(L\), so auch ihre Summe, Differenz, ihr Produkt und Quotient, sowie jede ihrer \(m\)-ten Wurzeln, \(m\ge 2\). Dann ist die Frage: Sind die Lösungen von \(f(X)=0\) in \(L\) enthalten? Wir wissen für Gleichungen vom Grad \(n=2\) ist die Antwort: Ja. Mit etwas mehr Aufwand lassen sich auch Lösungen in \(L\) für Gleichungen vom Grad \(n=3, 4\) finden. Der Fall vom Grad \(n\ge 5\) war lange Zeit eine offene Frage. In den 1830 Jahren wurde von Galois bewiesen, dass die Nullstellen eines allgemeinen Polynoms vom Grad \(n\ge 5\) nicht in \(L\) enthalten sind. Wie entscheidet man, ob die Nullstellen eines Polynoms in der Menge \(L\) sind, ohne diese zu kennen? Die Methode der von Galois begründeten und nach ihm benannten Theorie besteht darin, der Gleichung \(f=0\) eine endliche Gruppe \(G_f\) zuzuordnen, die eine Teilmenge der Permutationsgruppe der Nullstellen von \(f\) ist, und die Eigenschaft hat, dass die Nullstellen von \(f\) genau dann in \(L\) enthalten sind, wenn die Gruppe \(G_f\) auflösbar ist. Für allgemeines \(f\) ist \(G_f\) gleich der Permutationsgruppe einer \(n\)-elementigen Menge, welche für \(n\ge 5\) nicht auflösbar ist.

Dies ist die erste von vielen Anwendungen der Galois Theorie, die heute ein wesentlicher Bestandteil der modernen Zahlentheorie und arithmetischen Geometrie ist. Ziel der Vorlesung ist es, den Hauptsatz der Galois Theorie zu formulieren und zu beweisen und schließlich die obige Anwendung zu erklären. Zu diesem Zweck werden wir in der Vorlesung folgende Themen behandeln: elementare Gruppentheorie, Ringe, Ideale, insbesondere euklidische und faktorielle Ringe mit dem Polynomring \(k[X]\) und den ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) als Hauptbeispiele, dann algebraische Körpererweiterungen, Konstruktion des algebraischen Abschlußes eines Körpers, Galois Erweiterungen, Hauptsatz der Galois Theorie, Anwendungen.

Vorkenntnisse: Lineare Algbera I, II, Analysis I

Zeit und Ort

	Dozent	Zeit	Raum
Vorlesung	Kay Rülling	Di 12-14	Hs 001/A3
		Fr 12-14	SR 031/A6
Global Übung	Matej Filip	Mi 14-16	0.1.01 Hörsaal B/A14
Tutorium	Michael Rothgang	Mi 16-18	SR 007/008/A6
		Do 12-14	SR 032/A6

Der erste Vorlesungstermin ist der 17.10.2017. Die Übungen beginnen eine Woche später. Sprechstunde Freitag 14:30-16:00 Uhr.

Übungsblätter

• Jeden Mittwoch erscheint hier ein neues Übungsblatt. Ihre Lösungen werfen Sie bitte bis spätestens 14:00 Uhr am Mittwoch der Folgewoche in den Kasten von Michael Rothgang im Eingangsbereich der A5.
• Um an der Klausur teilnehmen zu können müssen mindestens 50 Prozent aller Übungsaufgabe sinnvoll bearbeitet worden sein. Außerdem sollte jeder Student aktiv im Tutorium mitarbeiten.
• Sie können Lösungen in Paaren abgeben: Sofern Sie zu zweit Lösungen erarbeitet haben, müssen Sie nicht zweimal den gleichen Satz Lösungsblätter abgeben, sondern können beide Namen auf eine Lösung schreiben und abgeben.

1. Übungsblatt 20. Oktober 2017
2. Übungsblatt 25. Oktober 2017 Abgabe bis zum 01. November 2017, 12:00 Uhr in den Kasten von Michael Rothgang im Eingangsbereich der A5
3. Übungsblatt 01. November 2017 Abgabe bis zum 08. November 2017, 14:00 Uhr in den Kasten von Michael Rothgang im Eingangsbereich der A5
4. Übungsblatt 08. November 2017(v2) Abgabe bis zum 15. November 2017, 14:00 Uhr (s.o.)
5. Übungsblatt 15. November 2017 Abgabe bis zum 22. November 2017, 14:00 Uhr (s.o.)
6. Übungsblatt 22. November 2017 Abgabe bis zum 29. November 2017, 14:00 Uhr
7. Übungsblatt 29. November 2017 Abgabe bis zum 06. Dezember 2017, 14:00 Uhr
8. Übungsblatt 06. Dezember 2017 Abgabe bis zum 13. Dezember 2017, 14:00 Uhr
9. Übungsblatt 13. Dezember 2017 Abgabe bis zum 20. Dezember 2017, 14:00 Uhr
10. Übungsblatt 22. Dezember 2017 Abgabe bis zum 10. Januar 2018, 14:00 Uhr
11. Übungsblatt 10. Januar 2018 Abgabe bis zum 17. Januar 2018, 14:00 Uhr
12. Übungsblatt 17. Januar 2018 Abgabe bis zum 24. Januar 2018, 14:00 Uhr (Da die Tutorien ausgefallen sind, hier die Lösungen.)
13. Übungsblatt 24. Januar 2018 Abgabe bis zum 31. Januar 2018, 14:00 Uhr (Hier die Lösung von Aufgabe 13.3 von Michael Rothgang)
14. Übungsblatt 31. Januar 2018 Abgabe bis zum 7. Februar 2018, 14:00 Uhr (Letztes Blatt)

Klausur

Teilnehmen an der Klausur bzw. Nachklausur sollte nur, wer mindestens 50 Prozent aller Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet und aktiv während des Tutoriums mitgearbeitet hat.

Hilfsmittel

Klausurergebnisse

Nachklausurergebnisse

Literatur

1. S. Bosch, Algebra . Springer-Lehrbuch.
2. S. Lang, Undergraduate Algebra. Springer Undergraduate Texts in Mathematics.
3. E. Kunz, Algebra. vieweg studium; Aufbaukurs Mathematik.
4. S. Lang, Algebra . Springer Graduate Texts in Mathematics.
5. J.S. Milne, Fields and Galois Theory . Skript, siehe http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html.
6. J.S. Milne, Group Theory . Skript, siehe http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html.