Inter veritates, quae praestantissimorum ingeniorum diligentiam exercuerunt, non ultimum locum tuetur theorema in geometria elementari de lineis rectis parallelis. Habent sua aenigmata omnes mortalium scientiae; nec mirum, cum non possit fieri, quin intellectus noster, limitibus circumscriptus, multa ignoret, multorum eventuum rationes et causas investigare non possit. Nescio tamen, an ingenii nostri magis an veritatum culpa accidat, quod in ipso geometriae limine offendiculum repperiatur, quod in animis eorum, qui eius adyta intrare parant, erroris timorem nullum quidem relinquere potest, haud ita tamen, ut optari posset, sublatum fuit. Paucae sunt veritates, quae sine auxilio theorematis de parallelis in geometria demonstrari possunt, pauciores sunt, quarum in illo demonstrando usus esse potest. Huc accedit, quod cum distinctas notiones de lineis rectis et curvis non habeamus, ex definitionibus earum negotium expediri non possit. Hae enim definitis suis semper sunt obscuriores. Non tamen macula geometriae adspergi poterit, si in principiis suis propositionem ponit, cuius veritas non ex ratiociniis distincte explicatis, sed ex clara, quam de linea recta habemus notine, certissime perspicitur. Tale est axioma 11 Euclidis, lineas in quas recta incidens angulos interiores et ad easdem partes, duobus rectis minores fecerit, in infinitum productas, concurrere ex ea parte, ad quam anguli sunt duobus rectis minores. Plerique rigoris in demonstrando studiosi e numero axiomatum hoc eiecerunt, sed demonstrationes, quibus id probare conati sunt, vitio minime carent. Alii alia axiomata, sed Eucideo nec clariora nec certiora substituerunt. Unde si omnium conatus perpenduntur, patebit, Euclidem iure inter axiomata, retulisse propositionem, quae nullis aliis rite demonstrari potest. Hinc operae pretium facturus esse mihi visus sum, si varias has mathematicorum in doctrina de parallelis methodos collectas, publice exponerem. Hoc quidam argumentum non ad historiam matheseos magis quam ipsius humani ingenii pertinere arbitror. Ante tamen, quam hoc aggrediar, haud diffitendum mihi esse censo, quantum in hoc labore Excellentissimo Presidi debeam, qui non solum rariores libros mihi indicavit, et pro sua humanitate mecum communicavit, verum etiam totum opus perpoliendum suscepit; quod etiam Benignissimo Lectori gratum erit: cum nihil se legere sciat, nisi quod ab Eo vel proficiscatur, vel probetur.

Paucis iam explicabo, qua in re omnis sit posita doctrinae de parallelis difficultas. Si Euclidea parallelarum definitio, quod sint non concurrentes, adhibeatur, optime quidem demonstrari potest, rectas quascunque quae a tertia ita secantur, ut anguli interiores duobus rectis aequales sint, parallelas fore; sed conversa huius propositionis, omnes parallelas ita a quavis tertia incidente secari, demonstrari non potest, nisi adhibeas axioma illud Euclideum. Huius definitionis loco, multi, vel ut scopulum, de quo dixi, praeterveherentur, vel quia latentem in herba anguem omnino ignorabant, alias definitiones substituerunt ab affectionibus parallearum desumtas; complurimi vero demonstrandam esse illarum possibilitatem, ne sonum mente vacuum, aut quod secum ipso consistere nequit, definiant, ne cogitarunt quidem. Talis est definitio, qua maxima pars eorum, qui elementa geometriae scripserunt, utitur, parallelas esse rectas, quae in eodem plano eandem semper inter se distantiam servant. Satis apparet, sumi hic, lineam, quae a recta aequaliter semper distat, ipsam rectam esse, quod experientia et ex oculorum iudicio, non ex natura lineae rectae colligitur. Sed de hoc plura infra. Cum itaque parallelarum definitio tanti in hac re momenti sit, non incommodum mihi videtur, illos, quorum labores in hoc argumento afferam, ita ordinare, ut quisque vel Euclidae, vel alia usus fuerit definitione. Sic optime veritatum inter se nexus perspicietur, et affines sibi demonstrationes melius inter se comparantur, neglectis temporum, quibus quisque vixerit, rationibus. Non enim doctrinae incrementis sensim auctae, historia hic traditur.

Copiose hoc argumentum tractat Proclus in commentariis in librum I elementorum Euclidis, cum quibus una graece prodierunt Basileae apud Io. Hervagium 1533. fol.

In fine libri II, p. 49, ubi definitionem paralellarum ab Euclide traditam illustrat, immutatam hanc esse narrat a Posidonio, qui aequidistantes eas dixit. Ipse nihil contra hanc definitionem monet, Euclideam tamen in sequentibus retinet, illiusque axioma contra sophistarum obiectiones defendere studet. Non tamen stabilis ipsi notio parallelarum esse videtur. Monet, lineas non fieri ideo parallelas, quod non concurrant, et cum Gemino ad hyperbolam provocat, quo ostendat, quarundam linearum convergentiam esse non convergentem.

------

In libro III, p. 53, axioma 11 (quod ipsi est postulatum 5)

Proclus axioma 11 inter postulata
------
refert; et nomine quinti insignit. Axiomata enim appellat propositiones indemonstrabiles, quae omni de quantitate et multitudine scientiae communes sunt, postulata vero, quae ad geometriam propius pertinent.
------

In libro IIII Ptolemaei

------

Ipse Proclus, ut axioma Euclideum demonstret, duarum rectarum sub quovis angulo ex eodem puncto eductarum distantiam omni dabili tandem maiorem fieri sumit. Quo axiomate etiam usus est Aristoteles, de coelo, libro I, capitulo 5, ut mundum finitum esse probaret. Sed quid est, cur illud Euclideo clarius certiusque arbitremur? Nititur hoc principio: quantitatem, quae semper crescere deprehenditur, semper aequalia aut saltem finita incrementa capere, quod nimis universaliter enunciatum cuique patebit. Deinde non satis determinatum mihi videtur. Nam si demissa ab alterutro crurum ad reliquum perpendicula, quae horum distantias metiuntur, infinite magna tandem evadere concedatur, ubi tandem hoc fiet? Num ad finitam distantiam a puncto intersectionis an ad infinitam? Si prius, actum est de axiomate Euclidis: si posterius, nullo modo ab illo diversum erit. Quicunque enim propositus sit acutus angulus, satis patet ex alterutro crure ad alterum demitti posse perpendicula, unde axioma Euclideum particulariter semper verum erit; num vero illa perpendicula quamcunque datam distantiam abscindere possint, id est, quod quaeritur. Rursus quando suum axioma ad evincendam veritatem Euclidei adhibent, Proclus omnesque qui illum sequuntur, parallelas omnes aequale vel saltem finitum intervallum servare, tacite sumunt. Si anguli DFE, GEF duobus rectis minores sint, inquit, ducatur EB ita ut BEF + DFE = 2 R, distantia rectarum EB, EG, omnem dabilem magnitudinem tandem exsuperabit, ergo et intervallum parallelarum EB et FD. Sed si quis dixerit parallelas magis magisque a se recedere? Certe qui Euclideum axioma negaverit, optime demonstrare hoc poterit.

Inter recentiores nemo hac de re fusius egit, quam Hieronymus Saccherius, professor mathematicus Ticinensis e societate Iesu, qui ut Euclidem ob theorema de parallelis et definitiones aequalitatis et compositionis rationum impugnatum defenderet, librum singularem edidit, cui titulus est:

Euclides ab omni naevo vindicatus, sive conatus geometrici, quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia. Mediolani 1733. 4. paginae 142. Primum huius operis librum dicavit auctor demonstrando axiomati Euclidis de lineis rectis parallelis. Facile vero est ad iudicandum, fieri non posse, quin humani aliquid patiatur, qui in demonstrando theoremate, quod notioni communi aequiparandum est, tantis ambagibus utitur, ut demonstratio plus quam 100 paginas impleat. Tentabo tamen ut vim eius paucis exponam. Demonstrat primum, - fig. 2 - si datae cuilibet rectae GE insistant perpendiculares aequales GA, EC, iuncta CA angulos ad A et C fore aequales. Tres hinc format hypotheses, quae ab angulorum ACE, GAC conditione, prout vel recti vel acuti vel obtusi fuerint, nomen sortiuntur. Efficit deinde, unam harum hypothesium solam esse veram, si vel in uno casu vera fuerit; hoc est si casu quopiam particulari evinci possit, angulos hos esse, verbi gratia rectos, semper eos tales fore, quaecunque linearum GE et AG fuerit magnitudo. In propositionibus 11 et 12 ex hypothesi anguli recti atque obtusi sequi demonstrat, - fig. 3 - ut rectis AD, AB acutum DAB continentibus, recta DA cuivis ipsi AB excitato perpendiculo Pl occurrat, ad distantiam finitam AL. Unde colligit, hypothesin anguli obtusi se ipsam destruere, quia hoc posito hypothesis anguli recti sola vera est. Deinde auctor totus in eo est, ut multa colligat, quae ex hypothesi anguli acuti fluunt. In his plura superflua reperiuntur, omnia vero longe absunt ab ea elegantia, quae in demonstrationibus geometricis recte requiritur, cuiusque exempla optima veteres dederunt geometrae. Insidiis, quas dictae hypothesi struit, ipse capitur Auctor qui tantis ambagibus utitur, ut si vel nihil in eius demonstratione reprehendere possem, mallem tamen acquiescere axiomati Euclideo, cuius veritas, quamquam clara tantum notione perspecta, tutius tamen sumitur, quam in tam obscuris involutisque ratiociniis, errorem nullum commissum esse, speratur.

Propositione 23 ostendit Saccherius duas rectas AX, BX in eodem plano exsistentes vel commune habere perpendiculum, hoc est rectam, quae utrique perpendicularis sit, etiam in hypothesi anguli acuti, vel in alterutram eandem partem productas semper magis ad se invicem accedere, nisi aliquando ad finitam distantiam una in alteram incidat. Iam ergo considerat rectas, de quibus nec commune perpendiculum, nec occursus ad distantiam finitam sumitur. - fig. 4 - Sit XBA rectus, BAX acutus, et accedat AX ita semper magis magisque ad BX, ut distantiam earum semper maior sit quantitate aliqua data, ostendit propositio 25, ita destrui hypothesin anguli acuti. Relinquetur ergo, ut distantia earum tandem omni dabili minor fiat, quo casu in infinito concurrere dici possunt, revera tamen nullibi unum punctum commune habent. Hoc si enim fieret, ob basin AB et angulos ad A et B datos triangulum AXB omnimodo determinatum esset, unde XB finita, contra hypothesin. Omne enim infinitum est indeterminatum per naturam suam. Saccherius vero hunc casum ita accepit, quasi rectae AX, BX revera in uno puncto convenirent. Nam propositione 28 et sequentibus ostendere vult, in hypothesi anguli acuti duas rectas AX, BX unum perpendiculum in uno puncto commune habituras. Demissis ex AX ad BX perpendiculis LK, HK, ostendit angulos ad L, H, D, semper minores fieri, magisque accedere ad Rectum, quo magis a puncto A distent, ita quidem, - fig. 3 - ut si datus sit angulus ALP, quem subtendat perpendiculum AP maius quam AB, capiaturque BK = LP et CB = AP excitato ad BX perpendiculo DK, angulus ADK - R sit minor quam ALP seu CKB. Hoc non efficitur, fore aliquando ADK rectum; nam si hoc effici debeat, concessis etiam quae de infinito vulgo pronunciantur, ostendendum esset, fore aliquando ADK - R non maiorem angulo quopiam evanescente ALP. Qui si talis fingatur, nemo est, qui non videat, LP infinitam esse debere, ut saltim finita fiat AP, nedum ut finitam aliquam datam excedat. Concessa igitur tota Saccherii demonstratione, id saltim conceditur, ADK pro recto haberi posse, ipsa BK infinitescente. Nec ipse Saccherius hoc negat, qui propositioni huic subiunctum corollarium ita concludit: in uno eodemque puncto X infinite dissito commune habituras perpendiculum. Ex hoc vero nihil absurdi colligetur, si angulus X, sub quo secant se in infinito rectae AX, BX, evanescere dicatur. Finitum esse, Saccherius nullibi ostendit; nec demonstratio eius ad hunc casum apta est, quae supponit AP > AB, et LP < BX. Iam si AXB finitus sit, datusque angulus ALP eo minor, patet LP maiorem fieri quam BX, si AP maior fieri debeat quam AB, unde demonstratio, quae hunc casum non attigit, ne quidem ostendit, ADK - R fieri tandem minorem angulo finito AXB, sed tantummodo ADK - R minorem quam angulum CKB, cuius crus BK minus esse debet quam BX et qui semper erit maior quam AXB. Si vero innitescens ponatur angulus AXB, quilibet, qui infiniti formula utitur, eandem rectam duabus in eodem puncto perpendicularem esse affirmabit. Recta enim exacte ad angulos rectos alteri ducta, cum reliqua continebit obtusum, qui rectum excedit angulo evanescente, et adeo pro recto haberi potest. Operose quidem ut omnia sua Saccherius ostendit lemmate 5, p. 84, rectos omnes exactissime aequales sine ullo defectu etiam infinite parvo. Sed id nullo iure transferret ad angulum, quem cum AX continet perpendiculum in angulo exacte recto ipsi BX excitatum. Hunc, si nihil peccavit, ita tantum ad rectum accedere probavit, ut non nisi quantitate evanescente eum excedat. Haec, si infiniti phrasi cum Saccherio utamur. A qua si ut decet, in ipsis geometriae initiis antiquorum exemplo abstineamus, nihil aliud ostendit Saccherius quam ex hypothesi anguli acuti sequi, angulos ad L, H, D continuo decrescere; in quo nihil absurdi videbit, qui de axiomate Euclideo dubitat.

Aliam demonstrationem continet libri I pars altera, qua ostendere conatur hypothesin anguli acuti sibi ipsam repugnare. Considerat enim curvam, - fig. 2 - quae enascitur iungendo extremitates omium perpendicularium aequalium insistentium cuivis rectae datae GE, quam aequalem esse censet basi, simulque illa maiorem, quia maior est, quam AC, quae maior est quam GE. Aequalem esse duplici modo probare studet; primum elementa singula curvae elementis basis aequalia esse ostendit, sed ita, ut ostendi posset quamlibet curvam, quae ordinata quadam lineae Abscissarum perpendiculari in dimidia similia dividitur, basi suae GE aequalem esse. Ipse etiam huic demonstratione non satis fisus, aliam suppeditat. Circulus, cuius dimidia circumferentia aequalis est ipsi GE, rotari facit super hac basi, ita ut omnia eius puncta successive ad illam applicentur, quae revolutio dum contingit, singula alterius semicircumferentiae puncta in singula curvae ABC sive AbE puncta cadere, ostendit. Hinc aequalitatem eius et basis infert. Cum vero linea non generetur appositione punctorum, sed fluxu puncti, haec demonstratio omni vi destituitur. Praeterea quam infidum sit hoc ratiocinandi genus, ex eo satis patere existimo, quod,

Veniam a Lectore impetraturum me esse spero si tam prolixae et inconcinnae demonstrationis expositione fatigatus est. Hanc ut consequar, breviorem iam bromam, quae est Christiani Augusti Hausenii in elementis matheseos. Lipsiae 1734. 4. Ostenderat in scholio 4 propositionis 10, - fig. 3 - si a dato puncto L inclinetur ad PA ducta recta LA ad LP in dato angulo ALP, inclinari aliam ad eandem LP in angulo maiore. Hinc in casu 1 propositionis 13 colligit, angulo P recto et ALP acuto, rectam LA non posse incidere in AP, quia alias ex puncto L non posset duci ad PA recta, inclinata ex L ad AP sub maiore angulo quam ALP contra scholium 4. Hoc vero scholium ex eo, quod LA occurrat ipsi AP, sub maiore ipso ALP angulo ductam ad PA rectam, inclinari ad PL posse, colligit: qui occursus si non concedatur, non absurdum est ex L non posse inclinari rectas sub angulis ipso ALP maioribus. Cessat enim conditio scholii.

Explicanda iam mihi venit demonstratio, qua plures usi sunt, ut ostenderent, - fig. 5 - si recta quaevis AB duarum rectarum BH, AG alterutram ad rectos angulos, alteram oblique secuerit, perpendicula ad priorem harum excitata, ad eandem partem rectae AB, omnia vel maiora vel minora quam AB futura esse. Usus est hac methodo Malezieu in Élémens de Géométrie de Monseigneur le Duc de Bourgogne, à Paris 1722. 4. Opus hoc, ut in praefatione narratur, ab ipso Burgundiae duce annis 1696 et sequenti conscriptum est, qui sermonem doctoris sui, Domni de Malezieu die quovis insequente, postquam habitus fuerat, in chartam coniicere, et demonstrationes ipse ordinare consueverat. Res tamen mihi magis cum editore erit, quem discipuli errores praestare oportet. In propositione 1 libri II, ostendere vult, si linea AB perpendicularis sit ad CD, obliqua vero ad EF, illamque quae propior sit occursui rectarum EF, CD, fore etiam breviorem. Demonstratio primum in eo peccat, quod negligentius concinnata, plura omittat, quae perpendi necesse erat, maxime vero, quod duas rectas EF, CD concurrere supponat, et demonstrata ad quamvis rectam EF lineam AB oblique in B secantem in sequentibus transferat. Auctor perpendiculum in puncto A ad EF fieri iubet, rursusque aliud in C ubi illud lineam CD secat; sicque pergit, donec deveniatur ad aliquod LH, quod illi in dato puncto H aut ultra occurrat. Tria hic sine demonstratione sumuntur; perpendiculum ad unam rectarum CD, EF ductum alteri occurrere et occurrere sub angulo acuto; et puncta, in quibus perpendicula ex CF excitata occurrere ponuntur ipsi CD, tandem casura ultra H. Medicina quidem adferri potest demonstrationi, si de perpendiculis ad partes anguli obtusi quaestio est, non vero, si de illis, quae ad alteram partem cadunt, nisi conditio adiiciatur, rectas EF, CD concurrere. Iam vero in sequenti propositione ita ratiocinatur: Si PR sit in A ipsi AC perpendicularis, perpendiculorum ad CD partes a PR resectae, erunt aequales; nam ducta EF sub quovis angulo obliquo intercipiet partes inaequales. Nihil hic de concursu rectarum EF, CD, ergo nec propositio praecedens hic in subsidium vocari poterit.

Ita ille. Eadem quidem est, sed

------

Fuit etiam Arabs, Nasarraddinus, qui demonstrationem axiomatis Euclidei tentavit, quam ab Eduardo Pocock latine redditam, publicis praelectionibus Oxoniae 1651 Wallisius exhibuit. Inserta est t. 2 operum eius, p. 669 et sequentibus in disceptatione geometrica de postulato 5 et definitione 5 libri VI Euclidis. Huius eadem vis est et ordo, ac illius, quam Celleberrimus Karsten suppeditat, nisi quod ut lemma assumat, quod ille demonstrandum suscepit, perpendicula ad partes anguli acuti semper breviora fieri; annon vero tandem angulus quidem ut KIC rectus fieri possit, non definit. Unde demonstratio haec omnibus numeris absoluta haberi non potest. Forte haec fuit quam in arabico quodam Euclide reperiri intellexit Clavius, sed compos eius fieri frustra optavit scholio ad 28. 1. In vulgari tamen Euclide arabico, ex quo Campani latinus factus est, non fuit, ut docet Excellentissimus Praeses p. 11 epistolae ad cardinalem Quirinum Lipsiae 1750 editae, qua primam, quae post inventam typographiam prodiit, Euclidis editionem descripsit.

Ipse Wallisius demonstrationem tentavit, nempe ut morem gereret Sanilio, qui professoribus suis (geometriae enim professionem Oxoniae instituit) commendatum hoc reliquerat. Inter axiomata illud controversum Euclidis recte referri censet. Pro principiis enim recte haberi non solum, quae demonstrari non possunt, verum etiam, quae adeo sua luce sunt clara, ut demonstratione non indigeant. In quo quidem recte sentire mihi videtur, si, quod axiomati nostro accidit, nullae possunt praestrui veritates aut notiones communes, quae facilius certiusque cognoscantur. Quod vero in alliis criminatur, eos axiomata minus apta et incertiora loco Euclidei substituisse, id ipse non evitasse videtur. Postquam enim demonstravit, - fig. 3 - lineae cuiuscunque AL sub angulo LAP acuto eodem manente super recta AP motae omnia puncta per LP prius transisse, quam punctum A ad P appellat; gratis supponit, datae cuicunque figurae similem aliam cuiusvis magnitudinis construi posse. Dicit, Euclidem figurarum similium definitionem, si ipsi ita visum fuisset, libro primo anteponere potuisse. Poterat ne vero etiam demonstrare, triangula omnia eandem angulorum, summam habere, nisi axioma 11 concedatur? Quod qui negat, non potest non postulatum Wallisii sibi repugnans dicere. Quin demonstrare poterit, nulla triangula, nisi aequalia, sibi esse posse similia. - fig. 7 - Cuiusque enim triangula BAC angulum externum CAD maiorem aut minorem esse pugnabit summa duorum internorum oppositorum. Si enim in uno casu eum illis aequalem censeret, in omnibus idem ipsi fatendum esset, quod facile ostendi potest. Hinc vero eius hypothesis everteretur. Ergo Δ CAD maiorem vel minorem habebit summam angulorum quam Δ BCD, itemque Δ AED (facto ∠ EAD = ∠ CBD) maiorem vel minorem illam habebit quam Δ ACD, ergo etiam quam Δ BCD. Ergo ∠ AED maior aut minor erit quam ∠ BCD; ergo triangula BCD et AED non erunt similia, licet angulos duos singulos aequales habeant. Nec est quod ad Euclidem provocare possit qui centro et intervallo dato circulum describi posse, postulat. Hoc enim ob simplicitatem operationis satis patet, cum in constructione figurarum similium et proportionalia latera et anguli illis inclusi aequales requirantur. Quae an semper simul haberi possint, non ita facile perspicitur. Nec ipsa eius a Circulo ad figuram quamvis argumentatio tuta esse videtur; Euclides ne quidem postulat, cuivis circulo alium similem construi posse.

Alii eo argumento usi sunt, quod dato angulo quovis et puncto intra crura eius triangulum construi possit, intra quod punctum illud cadat. Inter hos eminent Viri laude mea longe maiores, Segnerus et Karsten. Ille in elementis arithmeticae, geometriae et calculi geometrici, Halae Magdeburgicae 1756. 8. et in den Vorlesungen über die Rechenkunst und Geometrie, Lemgo 1747. 4. Postulatur in § 9, prioris horum operum, duabus lineis rectis in dato plano ex eodem puncto eductis, alteram ab altera continuo et aequaliter recedere, ita ut intervallum earum omni, quod dari potest, maius tandem evadat. Ubi optarem, ut quid sit aequaliter recedere, Illustrissimus Auctor distinctius explicasset. Hoc enim, ante theorema de parallelis stabilitum, vix credo expediri posse. Hinc § 10 omnem lineam AC per punctum A extra datam BD ductam, si ad illam accesserit, tandem occursuram affirmat; si vero nec recesserit, eodem semper intervallo iuxta BD in infinitum productam excurrere; sed demonstrationem non suppeditat. Unde § 11 - fig. 8 - quamcunque rectam per punctum F intra crura anguli DEB situm cum utroque vel alterutro eorum concurrere dicit. Quod quidem ex superioribus recte deducitur, si veritas eorum luce sua splendere concedatur. Non omnibus tamen ita visum fuisselicet de iis nemo dubitet, testantur tentamina, quibus ea stabilire conati sunt multi et insignes Mathematici. Possent nempe crura anguli, quamvis semper a se recedant, finito tamen intervallo semper distare, ut hyperbola a recta Asymptoto parallela intra cuvum eius ducta semper magis recedit, non tamen ultra distantiam parallelae ab asymptoto. Possent rectae parallelae ipsae a se invicem dissilire. Haec absurda esse non ex ratiociniis legitime institutis, non ex notionibus distinctis de linea recta et curva, se experientia et iudicio oculorum novimus, cui assueti, quod in casu singulari fit, semper fieri iudicamus.

Celeberrimus Karsten in praelectionibus matheseos theoreticae elementaris Rostochii et Wismariae 1758. 8. editis, § 73 pro principio sumit theorema illud, quod Illustrissimus Segnerus § 11 duorum axiomatum ope probavit. Hinc iam alia, ob demonstrandi methodum immutatam, circa illud monenda mihi veniunt. Sumere enim mihi videtur, quod in quaestione est. - fig. 1 - Si enim lineae CD plures parallelae per idem punctum E duci possunt, punctum quodvis F in linea CD ita erit situm, ut CD per id ducta neutri crurum AE, EG occurat nec ulla recta crura AE, EG iungens duci poterit, cui punctum F ad partes puncti E cadat.

Prodierunt Hagae Comitis 1758. 4. Élémens de Géometrie, contenant les six premiers livres d'Euclide, mis dans un nouvel ordre et à la portée de la Ieunesse sous les directions de Mr. Koenig et revûs par Mr. Kuypers. Loco axiomatis Euclidei substituitur aliud, nempe - fig. 1 - lineam EG, quae parallelarum AB, CD, alternos angulos aequales habentium, unam secat, etiam alteram secare. Hoc axioma revera idem est cum Euclideo. Omnis enim recta EG, quae ad CD ita inclinatur, ita ut GEF EFD minores sint 2 Rectis, necessario secat rectam AB, quae BEF + EFD = 2 R efficit. Ipsum Euclidem axioma hoc novum ut per se evidens in praeparatione ad demonstrationes propositionum 30 et 31 libri I supposuisse existimet Auctor, cum tamen immediate ex axiomate 11 fluat. Nec ille, quorum notiones distinctas et demonstrationes non attulit, gratuito sumere unquam consuevit.

Iam mihi memorandus venit Vir ob egregia in Rempublicam literariam merita mihique etiam multis nominibus grata semper mente celebrandus, Abraham Gotthelf Kaestnerus, qui in elementis arithmeticae et geometriae, patrio idiomate conscriptis, Anfangs-Gründe der Arithmetik, Geometrie, Trigonometrie und Perspective. Göttingen 1758. 8. axioma Euclideum non demonstratum quidem (ipse enim in praefatione hoc fatetur) ita tamen propositione 11, corollario 2-6, illustratum dedit, ut quid ad plenariam de veritate eius persuasionem desit, plane nesciam. Liber cum omnium manibus teratur, longiore Methodi eius explicatione non opus erit. Vis ratiocinii in eo posita est, - fig. 1 - quod linea EG, quae angulos GEF + EFD < 2 R efficit, si cum FD non concurrere dicatur, mota super EF invariato angulo GEF, tandem perventura sit in situm eg, quo lineam FD secat. Nullam vero intersectionis punctum ut g, primum dici potest, cum in gD et Ee semper puncta supersint, per quae recta EG ante transire debuit, quam ad g pervenerit. Praeterea si non concurrant EG, FD; duci certo poterit eg occurrens ipsi FD, sic ut Feg = FEG nulla vero ratio patet cur triangulum Feg possibile sit, aliud, habens basin saltim FE basi FE maiorem, et eosdem ad basin angulos, impossibile.

Hi sunt eorum, qui definitionem Euclidis retinuerunt, et quos consulere licuit, illi, quorum conatus maxime memorabiles mihi visi sunt. Iam accingo me, ut fata theorematis nostri apud eos enarrem, qui definitione parallelarum immutata, aequidistantes eas dixerunt, quorum rursus diversas classes distinguere licet. Supra (§ 2) iam monui, in hac definitione latere theorema aut axioma, lineam rectam super alia sub eodem semper angulo motam altera sui extremitate rectam describere. Definitiones vero, quae vocabulum, quo sensu accipiatur, explicant, rem quam definiunt hoc ipso possibilem esse non evincunt. Sic Euclides quadratum figuram quadrilateram et rectangulum esse docet, qualis an construi possit, ante theoremata de parallelis stabilitata, nemo poterit affirmare. Non ergo licet hasce definitiones prius adhibere atque latentes in illis veritates elicere, quam ostensum fuerit, quae notiones in definitione iunguntur, eas sibi non repugnare, quam legem etiam Euclides semper servavit. Hinc quidam, sed pauci, evincere voluerunt, rectam esse lineam illam, quae ab extremo rectae super recta eodem manente angulo motae describitur. Alii hoc axiomatis loco acceperunt, alii, ad quos omnis fere elementorum vulgarium scriptorum turba referenda est, omnino ignorasse videntur, hoc sibi probandum incumbere.

Ad primam classem pertinet opus quod Romae 1680. fol. prodiit sub titulo: Euclide restituto, overo gli antichi elementi geometrici ristaurati e facilitati da Vitale Giordano da Bitonto, Lettore delle Matematiche nella Reale Academia stabilita dal Re Christianissimo in Roma. Auctor parallelas rectas definitione 34 appellat, quae productae non accedant ad se invicem, nec a se recedunt. Possibiles tales rectas esse ostensurum se promittit. Promisso satisfacere conatus post propositionem 23 ubi ostendere vult, lineam, a cuius singulis punctis in datam rectam cadant perpendicula aequalia, ipsam rectam esse. Igitur enunciatum eius V. eo redit, si ABC sit curva versus D cava, a cuius punctis innumeris, perpendicula cadant in quamcunque aliam rectam, non esse illa omnia inter se aequalia. Quod ita demonstrare se credit. - fig. 9 - Iungantur curvae duo puncta quaevis recta AC, in quam ex alio curvae puncto quovis B cadat perpendicularis BD. In BD capiatur DF quaecunque, et ipsi CA per A excitetur perpendicularis AG = DF. Iam sive sumatur rectos esse ad G, F sive minus (aequales esse certum est) ostendit perpendiculum ex A in GF maius esse perpendiculo ex B in GF. Quod ob F pro arbitrio sumtum valebit pro rectis innumeris per innumera paria punctorum ab AC aequidistantium ductis at O, E, si AO = DE. Rursus ducta alia chorda HL, omnibusque ut ante factis, perpendiculum ex M ad RT minus esse eo quod ex L ad illam demittitur, evincitur, idemque ratiocinium transfertur ad perpendicula intra cavum curvae rectam IK cadentia, quam eodem modo ut GF determinari oportet. Quod vere ostendit Auctor, huc redit: Data curva ABC innumeras dari posse rectas, ut GF, OE, IK, RT, a quarum qualibet non omnia curvae ABC puncta aequaliter distent. Hae vero rectae singulae, de quibus id ostendit, ita determinantur, ut quaelibet earum secet duo perpendicula ad cordam curvae ducta, in punctis duobus a chorda aequidistantibus; illorum vero perpendicularium unum ut GAI transit per A, sectionem chordae et curvae. Non igitur generatim ostendit noster, curvae ABC puncta inaequaliter distare a quavis data recta, sed saltim; dari rectas, a quinus inaequaliter distent. § 7 sumit - fig. 2 - rectae GE in G, E; excitata esse perpendicula GA = CE, iunctae igitur AC punctum quodvis ut D contendit habere distantiam DF = AG = CE. Nam si id verum non sit, fore vel DF > AG vel DF < AG et captis pro alterutro horum casuum FB = AG; Fb = AG; dari curvam vel ABC vel AbC, cuius singula puncta habeant a GE distantias ipsi AG aequales; quod fieri non posse § 5 ostenderit.

Ex iis, quae dixi patebit, § 5 huc non pertinere; in § 8 datur GE recta, et auctoris paragraphum 5 non loqui de data iam monui. Ex hac enim fluit: Si in ipsam AC (§ 7, fig. 2) per A et B ducantur perpendiculares, et in illis inde ab AC resecentur partes aequales per puncta ab AC aequidistantia transire rectam, a qua non aequaliter distent puncta curvae ABC; Talem autem esse GE, (fig. 2, § 7) sumi non potest; imo certum est, talem esse non posse, nisi GAD = ADB = R, quo sumto facillime efficerentur lineae AC puncta omnia a GE aequaliter distare. Si vero exempli gratia ∠ GAC = ∠ ACE acutus sit, perpendiculorum ad A, et C partes Aa, Cc a recta GE resectae aequales erunt, unde omnia perpendicula inter A, et C excitata A ab GE intercepta inaequalia fient, et in hoc casu minora quam Aa = Cc. Ut brevibus omnia repetam: Innumerae assignari possunt rectae, a quibus curvae ABC (§ 7) puncta inaequaliter distent. Id auctori vel absque eius operosa demonstratione quilibet facile crediderit. Sed nullam rectam esse posse, a qua singula curvae AGC puncta aequales habeant distantias, id non ostendit, nisi sumendo quod in quaestione est, et quo sumto, absque tantis ambagibus omnia breviter possunt ostendi, scilicet BAC = R.

Ad demonstrandum axioma Euclidis Auctor theorema paragraphi 11 imprudenter convertit. - fig. 3 - Ex eo enim quod dato angulo LAP perpendiculum maius LP ipsi AL ad maiorem distantiam AL occurrat, quam perpendiculum minus BD, concludit in § 12, p. 56, datum quodvis perpendiculum DB occurrere ipsi AD, quia sumi potest punctum L in AD producta, ex quo cadat perpendiculum ad AB, ad distantiam AP > AB. Ubi facile patet, si BD non occurrat ipsi AL, nullum punctum L insumi posse, ex quo perpendiculum remotius quam BD cadat.

Prodiit Lipsiae 1751 dissertatio sistens principia theoriae de infinito mathematico et demonstrationem possibilitatis parallelarum, auctore Friderico Gottlob Hanke. Vratislavensi Silesio. Concinna satis et brevis est demonstratio, nisi quod, omissa uno casu, effugium relinquat, quo tota eius vis eludi poterit. Auctor, ut rectas tria perpendicula aequalia rectae cuiusvis insistentia iungentes unius rectae partes esse ostendat, sic procedit. - fig. 10 - Iubet triangulo ABD rectangulo in B aliud aequale adstrui ACD, rectangulum in C; deinde ducta CF sub angulo ACB = ADB, atque ex B recta Bf sub eodem angulo fBD; puncta F et f, quibus CF et Bf secant rectam AD, coincidere contendit. Sin minus, inquit, cadat punctum f vel supra vel infra F. Producatur CF, quod si ipsi AB non occurrat, capiatur in illa bF = FD, iuncta Ab cadat intra angulum BAF, et Δ AbF = Δ FCD. Ergo ∠ AbF = ∠ FDC = ∠ BAF ergo maior ∠ bAF; unde AF > bF = FD. Sed AF = fD (eo casu, quo f infra F cadit) ergo fD > FD, quod absurdum. Ergo CB secabit rectam AB; hic nimis festinanter Auctor concludit fore B punctum illud intersectionis. Ait enim, ob AF = FC, ∠ AFB = ∠ CFD et ∠ FAB = ∠ FDC triangulum hoc modo oriundum aequale est Δ CFD. Sed per constructionem ∠ AbF non Fab sive FAB aequalis est ∠ FDC, nihilque impedit, quo minus Ab cadat extra ∠ DAB, si Fb = FD ceciderit ultra AB; quem casum Auctor neglexit, ostendens tantummodo Ab non posse cadere intra angulum DAB. Sed Ab extra illum cadere necesse est, si AF = FC < FD. Hinc enim ∠ FCD = bAF > angulo FDC = ∠ BAF. Contra vero si Bf supra F ceciderit, ∠ FCD erit minor ∠ FDB, ob FD tunc minorem quam FC; ergo etiam ∠ bAF = ∠ FCD minor quam BAD = FDC. Unde eodem modo, quo Ab in priore casu intra ∠ BAD cadere non posse ostensum fuit, non extra illum non cadere ostendetur. Neglexit hoc quoque auctor. Eodem discursu, inquit, quo antea demonstrabitur, productam CF secturam AB in B, quod ambigue est dictum. Si rectam Ab extra ∠ BAD cadere non posse intellexit, errravit. Tantum ergo abest, ut Auctor perpendicula aequalia recta linea iungi demonstrarit, ut potius ostendi queat, ex eius methodo nihil tale quid exsculpi posse.

Hosce praeter, nemo mihi occurrit, qui duas rectas in omnibus punctis aequidistantes esse posse ostendere voluerit. Unde semel monuisse sufficiat, omnes, quas adhuc perlustraturus sum, demonstrationes uno eodemque vitio laborare, cum tacite pro axiomate sumant, quod probandum erat. Nam si etiam non peccent earum Auctores, rectas aequidistantes dari, absque demonstratione sumentes, haud tamen decebat axioma hoc definitione involutum lectorum oculis subtrahere velle. Christophorus Clavius in commentariis ad Euclidis elementa, Coloniae 1591. fol., antequam theoremata de parallelis demonstranda aggreditur, axioma praemittit, lineam, cuius omnia puncta a recta linea, quae in eodem plano existit, aequaliter distent, rectam esse. Tunc enim nihil in illa flexuosum repertum iri; sive lineam non fore curvam. Hoc est idem per idem demonstrare et explicare. Cogitatione apprehendi non posse aliam lineam praeter rectam gaudere hac proprietate; axioma vero ita comparatum esse debere, ut contrarium impossibile esse statim videamus. Hic vero tantum modo non perspicimus, quomodo contrarium possibile sit. Non moror quidem, si cui hoc satis luce sua fulgere videatur; quantum tamen iudico, nihil omnino ad illustrandum illud confirmandumque dici potest, nisi idem per idem explicare volueris, cum eius veritas non nisi confusa rectae et curvae lineae notione nitatur. Pro Euclideo tamen plura in mediam afferri possunt, quae veritatem eius satis evictam praestent, quod in primis efficit Excellentissimus Praeses in elementis suis.

Andrea Tacquet in editione elementorum Euclidis Amstelodami 1683. 8. Euclideam parallelarum definitionem reprehendit, libri I definitione 36, quod parallelismi naturam non satis explicet, cum fortassis fieri posset, ut rectae ad se mutuo accedentes, nunquam concurrant. Sed non opus est, ut definitio rei definitae genesin exprimat, dummodo eiusmodi notae suppeditentur, quae sufficiant ad illam ab omnibus aliis dignoscendam. Ita quidem comparata est definitio Euclidea, ex qua, si cetera eius ratiocinia recte se habent, omnes parallelas aequidistantes esse sequitur. Quamquam ex Taqueti definitione concessa reliquae parallelarum affectiones omnes facillime fluunt, tria tamen loco Euclidei adhibet axiomata, nempe parallelas communi perpendiculo uti; et perpendicula bina ex parallelis aequales utrinque intercipere partes; (quae ipsi sunt axiomata 11 et 12) et in theorema post propositionem 31 intra cuiusvis anguli crura rectam duci posse, quae datae parallela quavis data maior sit. De quibus omnibus si quis clara notione persuasus esse potest, nae ille axiomati Euclideo multofacilius adsensum largietur. Et cum concessa Auctoris definitione haec omnia optime demonstrari possint, cur non distinctis potius quam claris ideis in cernenda veritate utamur? Euclidem imitantes, qui veritates, quas nemo, simulac audiverit, negare potest, demonstrare maluit, quam gratuito sumere, ita ut etiam quibusdam Gallis ob id taxandus videatur.

Prodiit Bononiae latino et italico idiomate: Opusculum de lineis rectis aequidistantibus et non aequidistantibus, et: Operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti di Pietro Antonio Cataldo. 1603. 4. Indicasse hunc libellum sufficit. De existentia rectarum aequidistantium nunquam Auctorem dubium subiisse videtur, cuius ceterum demonstratio recte se habet, nisi quod, cum non aequidistantes concurrere demonstrare potuisset, eas propius semper ad se accedere tantum ostenderit propositione 9. Veniam autem modeste petit, si erravit in opere multas inter angustias et infirmitates composito; et quadringenta operis exemplaria mathematicis, quos ipse non nosset, distribuenda P. Valentino Pino commisit, ut certe animus Auctoris et ipsa liberalitas laudanda sint.

Nescio, an digni sint, qui hic referantur, Petri Rami arithmeticae libri II; geometriae XXVII, a Lazaro Schonero recogniti. Francofurti 1599. 4. Obtrectator ille Euclidis, qui ordinem propositionum eius tam bene immutavit, regularum logices suae oblitus, libro V § 11, lineam quae unam parallelarum secat, alteram quoque secare concludit, quia si non secaret, foret ad illam, ergo etiam ad primam parallela. In quo ratiocinio vox parallela duplici sensu ipsi accipitur, pro recta aequidistanti et non concurrente. In antecedentibus enim non ostendit, lineas non aequidistantes tandem coincidere. Eundem paralogismum admittit § 13 in demonstrando axioma 11 Euclidis. Quae eodem libro § 12 de angulis habet, quos parallelae a tertia sectae efficiunt, nugae sunt vagusque sermo, non demonstratio.

Inter nostrates sermo eorum, qui aequidistantium notione usi sunt, melius rem confecit Wolfio, qui in elementis matheseos universae, t. 1, Halae 1730. 4. concessa parallelarum definitione, cetera rigorose et concinne demonstrat, nisi quod theorema 38 de angulorum alternorum aequalitate paulo brevius demonstrare potuisset, linea incidente bifariam secta et ex puncto intersectionis perpendiculo ad alterutram parallelarum dimisso, quod per theorema 36 etiam reliquae ad rectos angulos fuisset. Unde triangula facta essent aequalia.

Demonstrationem theorematis de parallelis condere conatus est M. Friedrich Daniel Behn in dissertatione, de linearum parallelarum proprietatibus nova ratione demonstratis. Ienae 1761. Rectas parallelas, sive ex ipsius mente aequidistantes possibiles esse, gratuito sumit in § 5, cuius corollarium 3, si recte accipio ibi dicta, eo tendit, - fig. 10 - lineas rectas parallelas, si duo perpendicula aequalia AB, CD interceperint, semper aequidistare, quia utraque eandem versus plagam in directum protrahitur. Sed si duae hae plagae quae ipsi sunt puncta rectarum AC, BD infinite remota, intervallo AB a se distare sumuntur, patet, lineam tria perpendicula aequalia iungentem rectam esse, sumi. Si hae plagae vel coincidant, vel maiori minorive intervallo quam AB a se distant, rectae non erunt aequidistantes, saltim ex mente Auctoris in scholio eiusdem paragraphi. In quo si rectas ad idem punctum infinite remotum ductas, non aeque distare autumat, non attendere mihi videtur, formulam hanc esse loquendi, qua non aliud innuitur, nisi rectas nunquam concurrere. Eandem ob rationem in scholio paragraphi 9 angulos ABD, ADB duobus rectis minores esse posse affirmat, licet AB, AD non concurrant, quod cum eius hypothesi consistere non posse Clavius optime demonstravit. Si vero, ut videtur, differentiam eorum a duobus rectis infinite parvam subintelligit, vera dicit; nam rectae sub his angulis eductae revera erunt parallelae et aequidistantes, quamquam Auctori ad se accedere videantur. Reliqua eius demonstratio recte se habet. Continet enim veritates geometriae elementares, quibus theoremata de parallelis innituntur, satis accurate ab Auctore demonstratas. Sed demonstratio, cum, quod in hac re palmarium est, omittat, perfecta non est censenda. Wolfium reprehendit § 16 sed immerito, si demonstratio non ex elementis germanicis sed latinis petatur, quam ego quidem ob brevitatem et perspicuitatem illi quam Behnius dedit, longe praetulerim. Nec Clavii demonstratio, rectas sub angulis, duobus rectis minoribus, eductas concurrere, taxanda mihi videtur. Quod vero Hausen, Segner, Kaestner, quorum demonstrationes Auctor § 18-20 exponit, non omnem difficultatem removerint, ratio in eo posita est, quod definitione uti noluerunt, quam demonstrare non poterant.

Fata nostri theorematis apud caeteros elementorum scriptores, recensere longum et inutile foret. Praeterquam quod non multum inter se differant, plerique eorum, sive nostrates, sive exteri, parallelas aequidistantes esse sumunt, unde reliqua demonstratio vel debito cum rigore vel negligenter ordinatur. Gallos hic maxime peccare comperio, quod exemplis quibusdam comprobare fortasse non inutile erit. Prodierunt Hagae Comitis 1705. 12. Élémens de Géométrie par le P. Ignace Gaston Pardies. Auctor in praefatione ipse fatetur, rigorem demonstrationum saepius a se neglectum, ut finem propositum obtineret, veritates geometricas quam facillime posset, proponendo. Exemplum vitiosi huius moris, qui per Galliam late serpere videtur, praebet nobis illud ipsum de parallelis theorema. Parallelis a tertia sectis, angulos alternos aequales esse, quasi lumine naturali cognitum, infert Auctor. Ad hoc illustrandum duas parallelas ceu oppositos sibi regulae limites considerat, angulosque alternos angulis ad verticem aequiparando aequales censet. Ingeniose quidem; nisi lineae omni latintudine carentes supponerentur.

Simili modo Dom. Clairaut in elementis geometricis, Parisiis 1741. 8. primum § 8 quadrati et rectanguli constructionem docet, hinc parallelarum constructionem § 11 inferens, nulla facta mentione angulorum, quos recta incidens efficit, conditionis. Similia negligentiae exempla praebent: Géométrie élémentaire et pratique de feu Mr. Sauveur par Mr. le Blond à Paris 1753. 4. et: Cours de Mathématique II Partie Élémens de Géométrie, par Mr. Camus à Paris 1750. 8. qui parallelas rectas dicit ad tertiam aequaliter inclinatas. Eodem modo Boscowich in elementis universae matheseos, t. 1, Romae 1754. 8. lumine naturali notum esse contendit, parallelas ad tertiam aequaliter inclinari.

Nodum secat non solvit Varignon in elementis, quae gallice prodierunt sub titulo: Élémens de Mathématique de Mr. Varignon, à Paris 1731. 4. Parallelas appellat rectas (definitione 5) in eodem plano aequaliter ad tertiam inclinatas, quae angulum externum interno ad eandem partem opposito aequalem habeant. Theorema verius est, quam definitio; idque eo magis, cum nemo sit, qui cum notione parallelarum non coniungat hoc, quod nunquam sibi occurrant. Litem vero hanc ob rem ipsi non movebo. In eo vero pecasse videtur, quod tacite sumit, quaecunque tandem puncta duarum parallelarum recta iungantur, angulum externum interno aequalem fore. Concedamus enim, - fig. 10 - omnes lineas parallelas ut AC, BD puncta habere minimum duo, B, C, quae recta BC iungens efficiat ACB = CBD; quid? idemne etiam pro omnibus punctis harum linearum ut C et D sequitur? Sic facillime ostendi posset, in triangulo quocunque summam angulorum duobus rectis aequalem esse. Id ipsum vero ni auctori concedatur, omnes eius demonstrationes sequentes evertuntur. Nam ut hanc triangulorum proprietatem ostendat, theoremata de angulorum ad centrum circuli et circumferentiam quantitate et mensura praemittit. In corollario 2 theorematis 13 recte ostendit, arcus circuli intra duas chordas parallelas, quarum utrique est radius perpendicularis, interceptos aequales esse. Iam vero in theoremate 17, demonstrare vult angulum inter centrum et circumferentiam ABO aequalem esse dimidiae summae arcuum NM, OA a cruribus eius interceptorum. Ducatur enim, inquit, - fig. 11 - per centrum C ipsi MO parallela GE erit arcus GM = EO. Sed iure hic quaeremus, num, quae ipsi GE in C est perpendicularis, etiam ad MO talis futura sit. Inde quod angulus ad B aequalis est angulo ad K, hoc certe non sequitur. Hinc ad corollarium 2 theorematis 13 provocare non potest auctor, nec arcus GM, EO aequales esse demonstrat, unde tota argumentatio, caeteraque omnia illi superstructa, labefactata corruunt.

1. Qui animam materialem statuit, nullum ius propterea habet mortalem statuendi; et qui immaterialem demonstrasse se credit, nihil fere hac re effecit, ut immortalem esse ostendat.

2. Spatium in methaphysica recte definitur per ordinem coexistentium, quorum nullum est in alio.

3. Demonstratio Cartesiana existentiae divinae ex notione entis perfectissimi, ne quidem ut Wolfius illam emendavit, absoluta est, nec reddi absoluta omnino potest.

4. Animi motus vehementiores, quos adfectus vocant, magnam felicitatis humanae partem constituunt.

5. Qui mathesin et physicam ignorat, animam nosse non potest.

6. Voluptas nulla est sine sensu propriae perfectionis.

7. Animalia hominis caussa creata non sunt.

8. Verisimile est brutorum animas corporibus destructis in alia migrare.

9. Verosimillimum est, in ipso mortis articulo, raro magnum dolorem sentiri.

10. Perfectio est consensus in varietate. Qui summam realitatis positivae, quae enti tribuitur, appellat, vel idem dicit, vel nihil.

11. Lingua germanica, doctrinis et artibus tradendis aptior est quam latina.

12. Ex legibus forensibus Iudaeorum nulla regula duci potest nobis in casibus similibus observanda.

13. Qui plures Deos coluerunt, cum Dei voce, entis necessarii, quod vocamus, notionem non coniunxerunt. Igitur multo excusatius errarunt illo, qui omnino esse auctorem universi, alium ab universo, dubitaret.

14. Veritas logica male definitur: per iudicii, cum re de qua iudicatur, convenientiam.

15. Quod omnes gentes sacrificiis usae sint, probat omnes a parentibus ortas, quibus illa revelatione imperata fuerint.

16. Iuramentum, nisi aliunde nascatur obligatio, per se non obligat.

17. Expeditiones cruciatae, quatenus scopus illarum fuit, religionem christianam contra Mohammedanos tueri, iustae fuerunt.

Cum quantum valeres in disserendo de re quadam ad eruditionem, in primis mathematicam pertinente, publice ostensurus, comitem me tibi postulares, conditionem adiecisti ut tuae industriae specimen edere, non tueri saltim ab alio scripta liceret. Argumentum igitur tibi proposui ad ipsa quidem elementorum initia pertinens, sed in quo tractando, magna ingenia non feliciter vires suas exercuerunt. Cuius rei historiam, consilia mea sequutus talem scripsisti, qualem scribi ab aliquo diu optaveram, diligentiam in colligendo, acumen in diiudicando, modestiam in pronunciando lectoribus satis probaturus, pauca vero mihi addenda reliquisti, quae suis locis inserui, crediderimque vix superfuturum aliquem momenti cuiusdam conatum, quem non examinaveris. Ea laus sufficere potest industriae Tuae, post messam vel largissimam spicilegio plerumque locum esse in historia ltteraria, vel hoc indicio esse potest, quod haec tractando, obiter inciderimus in Ptolemaeum aliquem, vel certe Claudium aliquem librum, ignoratum magno quem Lipsia mea Hamburgo tuo dedit Fabricio. Habituros nos aliquando, veram eam cuius admoto geometriae lumine spectra dissipasti demonstrationem, vix speraverim nisi diligentius exculta doctrina situs, cuius analysis cum Leibnitio interiit.

Quod de Gallis scriptoribus § 22 dixisti non solum hic, sed et in aliis geometriae locis valet, maxime illos ab Euclideo rigore deflectere. Excusari tamen meretur, quod a caussa satis bona, ipsum certe non optimum, proficiscitur. Student apud illos nostris artibus principes viri, ipsique regum filii, quod quidem exemplum, Germani, vitiorum saltim imitatores, servum genus, rarius sequuntur; igitur docturi gentem, cuius et in discendo, non nisi primus impetus maior est quam virorum, non potuerunt morosius observare magistri nostri pronunciatum, qui regiam ad geometriam patere viam negaverat. Imo ingeniosissime Dom. Clairaut