Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Homotopietheorie Wintersemester 2006/2007

Blatt 1 Abgabe: Montag, 30.10. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei (X, A) ∈ Top_{∗}^{(2)} ein Raumpaar und seien u, v: (𝔻^{n}, 𝕊^{n−1}) → (X, A), n ≥ 2, zwei punktierte Abbildungen. Definiere u + v durch die Komposition

𝔻^{n} ⟶ 𝔻^{n}/𝔻^{n−1} ≅ 𝔻^{n} ∨ 𝔻^{n} ⟶^{u∨v} X .

Für u, v: 𝕊^{n} → X und n ≥ 1 definiere u + v als

𝕊^{n} → 𝕊^{n}/𝕊^{n−1} ≅ 𝕊^{n} ∨ 𝕊^{n} ⟶^{u∨v} X;

dies ist offenbar kompatibel mit der Definition für Paare. Zeigen Sie:

(a) Die Homotopieklasse von u + v hängt nur von den Homotopieklassen von u bzw. v ab.

(b) Für n ≥ 2 (bzw. n ≥ 1) definiert [u] + [v] := [u + v] eine Gruppenstruktur auf π_{n}(X, A) (bzw. auf π_{n}(X)).

(c) Für n ≥ 3 (bzw. n ≥ 2) ist π_{n}(X, A) (bzw. π_{n}(X)) abelsch.

[Hinweis: benutzen Sie Würfel statt Scheiben.]

Aufgabe 2: Sei (X, A) ∈ Top_{∗}^{(2)}. Definiere

∂_{∗}: π_{n}(X, A) ⟶ π_{n−1}(A)

durch [u] ↦ [u|_{𝕊^{n−1}}]. Seien i: A ↪ X und j: (X, x_{0}) ↪ (X, A) die Inklusionen. Zeigen Sie:

(a)

⋯ → π_{n}(A) ⟶^{i_{∗}} π_{n}(X) ⟶^{j_{∗}} π_{n}(X, A) ⟶^{∂_{∗}} π_{n−1}(A) ⟶^{i_{∗}} π_{n−1}(X) → ⋯

ist eine exakte Sequenz von Gruppen bzw. punktierten Mengen.

⋆ (b) die Abbildungen i_{∗}, j_{∗} und ∂_{∗} sind äquivariant bezüglich der Operation von π_{1}(A).

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Blatt 2 Abgabe: Montag, 6.11. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei j: A =]0, 1] ↪ [0, 1] = X die Inklusion und (a_{n}) die Folge a_{n} = (1/n, 1/n) in X × {0} ∪ A × 𝕀. Zeigen Sie: In Z′_{j} konvergiert (a_{n}) gegen (0, 0), in Z_{j} jedoch nicht.

Aufgabe 2: (a) Sei j: A ↪ X eine Kofaserung. Zeigen Sie: Ist X hausdorffsch, so ist j eine abgeschlossene Kofaserung.

(b) Sei X = {a, b} mit der Topologie {∅, {a}, X} und A = {a}. Zeigen Sie: die Inklusion A ⊂ X ist eine Kofaserung.

Aufgabe 3: Sei j: A ↪ X eine Kofaserung und eine Homotopieäquivalenz. Zeigen Sie: A ist starker Deformationsretrakt von X.

Aufgabe 4: (a) Sei β: C → B eine Abbildung. Zeigen Sie: β^{∗}: Top /B → Top /C ist ein Funktor.

(b) Sei γ: D → C. Dann gilt γ^{∗} ∘ β^{∗} = (β ∘ γ)^{∗}.

Aufgabe 5: Seien p: E → B und q: D → B Faserungen und f: E → B eine Homotopieäquivalenz. Zeigen Sie: Ist das Diagramm

E  \overline{^{f}} D
[figure: p; q]
B

kommutativ, so existiert ein Homotopieinverses g zu f mit p ∘ g = q.

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Blatt 3 Abgabe: Montag, 13.11. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Für eine Faserung p: E → B bezeichne L_{p}: W (p) = E ×_{B} B^{𝕀} → E^{𝕀} eine Liftungsfunktion.

(a) Seien X ⟶^{f} Y und Y ⟶^{g} Z Faserungen. Konstruieren Sie eine Liftungsfunktion L_{gf} für die Komposition g ∘ f.

(b) Seien E_{1} ⟶^{p_{1}} B_{1} und E_{2} ⟶^{p_{2}} B_{2} Faserungen. Konstruieren Sie eine Liftungsfunktion

L_{p_{1}×p_{2}} für E_{1} × E_{2} ⟶^{p_{1}×p_{2}} B_{1} × B_{2}.

(c) Sei E ⟶^{p} B eine Faserung und B′ ⟶^{f} B eine Abbildung. Konstruieren Sie eine Liftungsfunktion L_{f^{∗}(p)} für f^{∗}(p): E ×_{B} B′ → B′.

Aufgabe 2: Sei j: A ↪ X eine Kofaserung und p: E → B eine Faserung. Seien Φ: A × 𝕀 → B und φ: X → E Abbildungen mit pφ(a) = Φ_{0}(a) für a ∈ A. Zeigen Sie: es gibt eine Homotopie ψ: X × 𝕀 → E mit p ∘ ψ(a, t) = Φ(a, t) für a ∈ A und ψ_{0} = φ.

Aufgabe 3: Sei p: E → B ein numerierbares lokal triviales Faserbündel. Sei e_{0} ∈ E und b_{0} = p(e_{0}). Zeigen Sie: p: (E, e_{0}) → (B, b_{0}) ist eine punktierte Faserung.

Aufgabe 4: Sei j: A ↪ X eine abgeschlossene Kofaserung zwischen lokal lokalkompakten Räumen und sei (Y, y_{0}) ein punktierter Raum. Zeigen Sie:

(a) j^{∗}: 𝒞 (X, Y) → 𝒞 (A, Y) ist eine punktierte Faserung, wenn in den Abbildungsräumen die konstante Abbildung mit Wert y_{0} als Basispunkt genommen wird.

(b) Mit Basispunkten ∗ ∈ A ⊂ X ist auch j̄^{∗}: 𝒞_{∗}(X, Y) → 𝒞_{∗}(A, Y) eine punktierte Faserung.

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Blatt 4 Abgabe: Montag, 20.11. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Eine Abbildung p: E → B heißt Serre-Faserung, wenn sie die HHE für alle Räume 𝔻^{n} hat.

(a) Zeigen Sie: eine Serre-Faserung hat die HHE für alle CW-Komplexe.

(b) Sei A Unterkomplex des CW-Komplexes X, so daß die Inklusion j: A ↪ X eine Homotopieäquivalenz ist. Zeigen Sie: j hat die LHE für alle Serre-Faserungen.

Aufgabe 2: Seien A ⊂ X und B ⊂ Y und f: X → Y eine Abbildung mit f(A) ⊂ B. Sei g = f|_{A} ein Retrakt von f, d.h. es gebe Abbildungen r: X → A und s: Y → B mit r|_{A} = id_{A}, s|_{B} = id_{B}, so daß das Diagramm

[figure: A; ⊂; X; r; A; B; g; ⊂; Y; f; s; B; g]

kommutiert. Zeigen Sie:

(a) Ist f eine Kofaserung, so auch g.

(b) Ist f eine Faserung, so auch g.

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Blatt 5 Abgabe: Montag, 27.11. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Definiere eine Abbildung ℂ[t] − {0} → ℂℙ^{∞} durch

a_{0} + a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n} ↦ [a_{0} : a_{1} : …: a_{n} : 0 : 0 : …].

Zeigen Sie: die Multiplikation von Polynomen induziert eine H-Multiplikation auf ℂℙ^{∞}.

Aufgabe 2: Sei (Y, μ) ein H-Raum, so daß π_{0}(Y) mit der von μ induzierten Multiplikation eine Gruppe ist. Zeigen Sie: alle Wegekomponenten von Y sind homotopieäquivalent.

Aufgabe 3: Sei (X, x_{0}) wohlpunktiert, f: (X, x_{0}) → (Y, y_{0}) und α ∈ Ω(Y; y_{0}). Sei H: X × 𝕀 → Y eine Homotopieerweiterung von

f ∪ α: X × {0} ∪ {x_{0}} × 𝕀 ⟶ Y

und τ_{α}f := H_{1} : X → Y. Zeigen Sie:

(a) [α] = [β] in π_{1}(Y; y_{0}) ⇒ [τ_{α}f] = [τ_{β}f].

(b) [f] = [g] in [X, Y]_{∗} ⇒ [τ_{α}f] = [τ_{α}g].

(c) [τ_{αβ}f] = [τ_{β}(τ_{α}f)].

(d) Sei X = 𝕊^{1}. Dann gilt [τ_{α}f] = [α]^{−1} · [f] · [α] in π_{1}(Y; y_{0}).

Aufgabe 4: Sei (X, x_{0}) wohlpunktiert und (Y, y_{0}) ein wohlpunktierter H-Raum. Zeigen Sie: [τ_{α}f] = [f] für alle α ∈ Ω(Y; y_{0}) und f: (X, x_{0}) → (Y, y_{0}). Insbesondere ist π_{1}(Y; y_{0}) abelsch.

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Blatt 6 Abgabe: Montag, 4.12. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei A ⊂ X ein punktierter Retrakt. Zeigen Sie:

(a) Ist X ein H-Raum, so auch A.

(b) Ist X ein H′-Raum, so auch A.

Aufgabe 2: Sei (X, ν) ein H′-Raum. Dann definiert Σ(ν) eine Ko-H-Raumstruktur auf ΣX. Zeigen Sie, daß diese homotopieassoziativ und -kommutativ ist.

Aufgabe 3: Sei f: X → Y ∈ Top_{∗} und j: Y → C(f) die Inklusion. Zeigen Sie: Ist φ: T → Y ∈ Top_{∗} mit j ∘ φ ≃ ∗, so existiert ein ψ: ΣT → ΣX mit [Σf ∘ ψ] = −[Σφ].

[Hinweis: ΣX ≃ C(j) = C(X) ∪_{Y} C(Y).]

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Blatt 7 Abgabe: Montag, 11.12. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei f: X → Y ∈ Top_{∗} und P_{f}: Fas(f) → X die Projektion. Zeigen Sie: Ist φ: X → T ∈ Top_{∗} mit φ ∘ P_{f} ≃ ∗, so exisitiert ein ψ: ΩY → ΩT mit [ψ ∘ (−Ωf)] = [Ωφ].

Aufgabe 2: Sei f: X → Y eine punktierte Abbildung. Definiere ε: ΣΩY → Y und η: X → ΩΣX als Adjungierte von id_{ΩY} bzw. id_{ΣX}. Konstruieren Sie Abbildungen ε′: Σ Fas(f) → C(f) und η′: Fas(f) → ΩC(f), so daß folgende Diagramme kommutieren:

[figure: ΣΩY; ΣP_{f}; Σ Fas(f); ΣQ_{f}; ΣX]

[figure: X; f; Y; ε; P_{f}; C(f); ε′; . . . . . . . . . . . .; Q_{f}; ΣX; − id]

[figure: ΩY; Q_{f}; Fas(f); P_{f}; X; f; Y]

[figure: ΩY; − id; ΩP_{f}; ΩC(f); η′; . . . . . . . . . . . .; ΩQ_{f}; ΩΣX; η]

Aufgabe 3: Seien f, g: X → Y ∈ Top_{∗} punktiert homotop. Zeigen Sie: Fas(f) ≃ Fas(g).

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Übungen Homotopietheorie Wintersemester 2006/2007

Blatt 8 Abgabe: Montag, 18.12. (in der Vorlesung) Aufgabe 1: Sei

[figure: X; f; Y; P_{f}; C(f); Q_{f}; ΣX; X′; α; f′; Y′; β; P_{f′}; C(f′); γ; Q_{f′}; ΣX; Σα]

homotopiekommutativ und seien α, β Homotopieäquivalenzen. Zeigen Sie (für T ∈ Top_{∗}):

(a) Ist [φ] ∈ [C(f′), T]_{∗} eine Homotopieklasse mit γ^{∗}[φ] = ∗, so gilt [φ] = ∗.

(b) (Σγ)^{∗}: [ΣC(f′), T] → [ΣC(f), T] ist injektiv.

(c) (Σγ)^{∗}: [ΣC(f′), T] → [ΣC(f), T] ist surjektiv.

(d) (Σγ) ist Homotopieäquivalenz.

⋆Aufgabe 2: Die identische Abbildung von ℚ × ℚ × ℕ auf sich induziert eine Bijektion

ι: (ℚ ∧ ℚ) ∧ ℕ ⟶ ℚ ∧ (ℚ ∧ ℕ) .

Zeigen Sie:

(a) ι ist stetig;

(b) ι ist nicht offen.

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Blatt 9 Abgabe: Montag, 15.1. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Zeigen Sie: der Hurewicz-Homomorphismus bildet die lange exakte Homotopiesequenz eines Raumpaares (X, A) in die lange exakte Homologiesequenz von (X, A) ab.

Aufgabe 2: Zeigen Sie: der Hurewicz-Homomorphismus vertauscht mit Einhängungen, d.h. das Diagramm

[figure: π_{n}(X); h; H_{n}(X); π_{n+1}(ΣX); σ; h; H_{n+1}(ΣX); σ]

kommutiert.

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Blatt 10 Abgabe: Montag, 22.1. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei (X, A) ein Raumpaar und π_{2}(X) ^{j_{∗}} π_{2}(X, A) ^{∂_{∗}} π_{1}(A) ein Ausschnitt aus der langen exakten Homotopiesequenz. Zeigen Sie:

(a) Seien α, β ∈ π_{2}(X, A). Dann gilt τ_{∂_{∗}(α)}(β) = −α + β + α.

(b) Das Bild von j_{∗} liegt im Zentrum von π_{2}(X, A; x_{0}).

Aufgabe 2: Sei f: X → Y eine Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen, die für q < n Isomorphismen und für q = n einen Epimorphismus in H_{q} induziert. Zeigen Sie: f ist n-zusammenhängend.

Aufgabe 3: (a) Sei X = ℝℙ^{n} × 𝕊^{m}, Y = ℝℙ^{m} × 𝕊^{n} für m, n > 1, m ≠ n. Zeigen Sie: π_{i}(X) ≅ π_{i}(Y) für alle i, aber H_{∗}(X) ≅ H̸_{∗}(Y).

(b) Finden Sie zwei Räume X, Y mit isomorpher Homologie, so daß π_{∗}(X) ≅ π̸_{∗}(Y).

Aufgabe 4: Sei X = 𝕊^{1} ∨ 𝕊^{2}, seien α und β die Homotopieklassen von 𝕊^{2} ^{⊂}^{in_{2}} X bzw. 𝕊^{1} ^{⊂}^{in_{1}} X, und f: 𝕊^{2} X repräsentiere 2α − τ_{β}(α). Sei Y = X ∪_{f} e^{3}. Zeigen Sie: Die Inklusion 𝕊^{1} ^{⊂} Y induziert Isomorphismen in π_{1} und H_{∗}, aber nicht in π_{2}.

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Blatt 11 Abgabe: Montag, 29.1. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Kohomologie von SU(n) und U(n).

[Hinweis: Betrachen Sie die Faserung SU(n − 1) → SU(n) → 𝕊^{2n−1}.]

Aufgabe 2: (a) Sei i_{n}: U(n) ↪ U(2n) gegeben durch A ↦ ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & I \end{matrix} ) und bezeichne μ: U(n) × U(n) → U(n) die Multiplikation sowie T: U(n) × U(n) → U(n) × U(n) die Vertauschungsabbildung. Zeigen Sie, daß das Diagramm

U(n) × U(n)  \overline{^{T}} U(n) × U(n)

[figure: U(n); μ; U(n); μ]
[figure: i_{n}; i_{n}]
U(2n)

homotopiekommutativ ist.

(b) Berechnen Sie die Homologie von U(n) als Pontrjagin-Ring.

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Blatt 12 Abgabe: Montag, 5.2. (in der Vorlesung)

Aufgabe 1: Sei R ein Ring und P_{n}(x) der Polynomring über R auf einem Erzeugenden vom Grad n > 0.

(a) Zeigen Sie, daß P_{n}(x) genau eine Diagonale hat, die P_{n}(x) zu einer Hopfalgebra macht.

(b) Bestimmen Sie die Struktur der dualen Hopfalgebra Γ_{n}(x).

[Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle n ≡ 0, 1 mod 2.]

Aufgabe 2: Sei R = 𝔽_{p} und n gerade.

(a) Zeigen Sie: für jedes h ∈ ℕ ist P_{n}(x)/(x^{p^{h}}) eine Quotienten-Hopfalgebra von P_{n}(x).

(b) Bestimmen Sie die Struktur der dualen Hopfalgebra.

⋆Aufgabe 3: Sei A eine zusammenhängende, assoziative, kommutative Hopfalgebra über ℚ von endlichem Typ. Zeigen Sie: A ist isomorph zu Λ ⊗ P, wobei Λ eine äußere Algebra auf Erzeugenden ungeraden Grades und P eine Polynomalgebra auf Erzeugenden geraden Grades ist.