Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 1 Abgabe: Donnerstag, 13.4.06

Aufgabe 1: Die Gruppe G sei von den Elementen a, b erzeugt mit den definierenden Relationen ab^{2} = b^{3}a und ba^{2} = a^{3}b. Zeigen Sie, daß G nur aus einem Element besteht.

Aufgabe 2: Zeigen Sie: Jede endlich präsentierte Gruppe ist isomorph zur Fundamentalgruppe eines endlichen Polyeders. Dabei heißt eine Gruppe G endlich präsentiert, wenn es eine endliche Menge von Erzeugenden und eine endliche Menge definierender Relatoren in G gibt. (Ein Relator ist ein Wort in Elementen von G, das das neutrale Element definiert. Wörter der Form gg^{−1} nennt man triviale Relatoren. Eine Menge R von Relatoren heißt definierend oder vollständig, wenn sich jeder Relator durch die folgenden Operationen erhalten läßt: (i) Einschieben oder Anfügen eines trivialen Relators, eines Wortes R oder R^{−1} für r ∈ R; (ii) Streichen eines dieser Relatoren.)

Aufgabe 3: Sei E ein regelmäßiges 2g-Eck (g ≥ 2) mit Ecken p_{1}, …, p_{2g}, so daß die Verbindungsstrecke von p_{i−1} nach p_{i} eine Kante von E ist. Sei M der Identifikationsraum, der durch Identifizieren der Kante von p_{2i−1} nach p_{2i} mit der Kante von p_{2i} nach p_{2i+1} entsteht. Triangulieren Sie M und berechnen Sie die kombinatorische Fundamentalgruppe.

Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 2 Abgabe: Donnerstag, 20.4.06

Aufgabe 1: Zeigen Sie: Für jedes endliche Polyeder K ist π_{1}(K)^{ab} ≅ H_{1}(K; ℤ). (Hinweis: Bei der Berechnung der kombinatorischen Fundamentalgruppe wurde jedem 1-Simplex ein geschlossener Kantenweg zugeordnet.)

Aufgabe 2: Sei (L, 𝔏) ein simplizialer Komplex. Sei (K, 𝔎) der Kegel über L, d.h.

𝔎_{0} = 𝔏_{0} ∪ {∞} ,
𝔎_{n} = 𝔏_{n} ∪ {σ^{∗} | σ ∈ 𝔏_{n−1}} , σ^{∗} = σ ∪ {∞} .

Zeigen Sie: H_{n}(K; ℤ) = 0 für n > 0.

Aufgabe 3: Sei m ≥ 1 eine natürliche Zahl und π = ℤ/m. Definiere einen Kettenkomplex C_{∗} durch

C_{i} = 0 für i < 0
C_{i} = ⨁_{j=0}^{m−1} ℤe_{j}^{i} für i > 0

∂(e_{j}^{2i}) = ∑_{k=0}^{m−1} e_{j+k}^{2i−1} , i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ m − 1
∂(e_{j}^{2i+1}) = e_{j}^{2i} − e_{j+1}^{2i}

wobei untere Indizes der e_{r}^{s} modulo m zu nehmen sind.

(a) Berechnen Sie die Homologie von C_{∗}.

(b) Konstruieren Sie einen Kettenkomplex D_{∗} mit D_{i} = ℤe^{i}, i ≥ 0, so daß die durch e_{j}^{i} ↦ e^{i} definierte Abbildung C_{∗} → D_{∗} ein Kettenhomomorphismus ist.

(c) Berechnen Sie die Homologie von D_{∗} mit Koeffizienten in ℤ und in ℤ/m.

Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 3 Abgabe: Donnerstag, 27.4.06

Aufgabe 1: Für Untermoduln eines R-Moduls A gilt:

(a) Ist C ⊂ B ⊂ A, so gibt es eine exakte Sequenz

0 → B/C → A/C → A/B → 0 .

(b) Ist B_{1} ⊂ A_{1} und B_{2} ⊂ A_{2} , so gibt es eine exakte Sequenz

0 → (A_{1} ∩ A_{2})/(B_{1} ∩ B_{2}) → A_{1}/B_{1} ⊕ A_{2}/B_{2} → (A_{1} + A_{2})/(B_{1} + B_{2}) → 0 .

Aufgabe 2: Man führe den Beweis des Satzes von der langen exakten Homologie-Sequenz direkt aus, ohne das Schlangen-Lemma zu benutzen.

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Blatt 4 Abgabe: Donnerstag, 4.5.06

Aufgabe 1: Sei 0 → A ⟶^{i} B ⟶^{p} C → 0 eine kurze exakte Sequenz von R-Moduln. Zeigen Sie: Genau dann existiert ein Homomorphismus s: C → B mit p ∘ s = id_{C}, wenn es einen Homomorphismus t: B → A mit t ∘ i = id_{A} gibt, und in diesem Fall gilt B ≅ A ⊕ C.

Aufgabe 2: Sei

0  0  0
[figure: 0; C′_{∗}; C_{∗}; C′′_{∗}; 0]
[figure: 0; D′_{∗}; D_{∗}; D′′_{∗}; 0]
[figure: 0; E′_{∗}; E_{∗}; E′′_{∗}; 0]
[figure: 0; 0; 0]

ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen und Kettenabbildungen mit exakten Zeilen und Spalten. Zeigen Sie, daß das Diagramm

[figure: H_{n+1}(E′′_{∗}); ∂_{∗}^{E}; H_{n}(E′_{∗}); H_{n}(C′′_{∗}); ∂′′_{∗}; ∂_{∗}^{C}; H_{n−1}(C′_{∗}); ∂′_{∗}]

antikommutativ ist (∂′_{∗}∂_{∗}^{E} = −∂_{∗}^{C}∂′_{∗}).

Aufgabe 3: Sei f: C_{∗} → D_{∗} ein Homomorphismus von Kettenkomplexen. Definiere graduierte Moduln ΣC_{∗} und E_{∗} durch (ΣC_{∗})_{n} := C_{n−1} sowie E_{∗} := D_{∗} ⊕ ΣC_{∗}; sei σ: C_{n−1} ⟶^{≅} (ΣC_{∗})_{n} als Identität von C_{n−1} erklärt. Zeigen Sie:

(a) Durch d_{n}(σx) := −σd_{n−1}(x) wird ΣC_{∗} zu einem Kettenkomplex, und H_{n−1}(C_{∗}) → H_{n}(ΣC_{∗}), [x] ↦ [σx] ist ein Isomorphismus.

(b) Durch d_{n}(x, σy) := (d_{n}(x) + f_{n−1}(y), −σd_{n−1}(y)) wird E_{∗} zu einem Kettenkomplex.

(c) Seien i: D_{∗} → E_{∗} und j: E_{∗} → ΣC_{∗} die Inklusion bzw. Projektion. Dann ist 0 → D_{∗} ⟶^{i} E_{∗} ⟶^{j} ΣC_{∗} → 0 eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen.

(d) Sei ∂_{∗} der verbindende Homomorphismus in der langen exakten Homologiesequenz der kurzen exakten Sequenz in (c). Dann ist ∂_{∗} die Komposition

H_{n+1}(ΣC_{∗}) ≅ H_{n}(C_{∗}) ⟶^{f_{∗}} H_{n}(D_{∗}) .

Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 5 Abgabe: Donnerstag, 11.5.06

Aufgabe 1: Beweisen Sie das Schmetterlingslemma: Sei

0  0
[figure]
A  \overline{^{α}} A′
[figure: γ; δ]
C
[figure: ε; ζ]
B  \overline{_{β}} B′
[figure]
0  0

ein kommutatives Diagramm von Moduln und Modulhomomorphismen mit exakten Diagonalen. Dann gilt:

Bild(ζ)/ Bild(β) ≅ Bild(δ)/ Bild(α) .

Aufgabe 2: (a) Definieren Sie Kategorien A und B mit folgenden Objekten:

A: kurze exakte Sequenzen von Kettenkomplexen abelscher Gruppen;

B: lange exakte Sequenzen abelscher Gruppen.

(b) Konstruieren Sie einen (nichttrivialen) Funktor A → B.

Aufgabe 3: Seien C und C′ Objekte der Kategorie C und seien F, F′: C^{op} → Set die darstellbaren Funktoren mit F (X) = C(X, C) und F′(X) = C(X, C′). Zeigen Sie: Es gibt eine kanonische Bijektion zwischen der Menge der natürlichen Transformationen von F in F′ und der Menge der C-Morphismen von C nach C′.

Aufgabe 4: Sei C die Kategorie mit Objekten \underline{n} = \{0, 1, …, n − 1\} für n ∈ ℕ (wobei \underline{0} = ∅) und Morphismen C(\underline{m}, \underline{n}) = Abb(\underline{m}, \underline{n}). Bezeichne Set_{f} die Kategorie der endlichen Mengen und F: C → Set_{f} den Inkklusionsfunktor. Konstruieren Sie einen Funktor G: Set_{f} → C sowie natürliche Äquivalenzen G ∘ F ≅ Id_{C} und F ∘ G ≅ Id_{Set_{f}}.

Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 6 Abgabe: Donnerstag, 18.5.06

Aufgabe 1: (a) Sei A ein Retrakt von X. Zeigen Sie: die lange exakte Homologiesequenz des Paares (X, A) zerfällt in spaltende kurze exakte Sequenzen.

(b) Sei A ein wegzusammenhängender Teilraum von X. Zeigen Sie, daß die Inklusion (X, ∅) → (X, A) einen Epimorphismus H_{1}(X) → H_{1}(X, A) induziert.

Aufgabe 2: In dieser Aufgabe bezeichne H_{n} Homologie mit Koeffizienten in ℤ.

(a) Berechnen Sie H_{n}(ℝ^{k}) für alle k, n ∈ ℕ.

(b) Berechnen Sie H_{1}(ℝ, ℚ).

Aufgabe 3: Sei X = Y × 𝕀 und A = Y × {0, 1} ⊂ X.

(a) Konstruieren Sie einen Isomorphismus H_{n}(A) ≅ H_{n}(Y) ⊕ H_{n}(Y).

(b) Berechnen Sie H_{n}(X, A).

Aufgabe 4: Sei R ein kommutativer Ring und (M_{i}, α_{i})_{i∈ℕ} ein gerichtetes System von R-Moduln und R-Homomorphismen. Seien (M′_{i}, α′_{i})_{i∈ℕ} und (M′′_{i}, α′′_{i})_{i∈ℕ} zwei weitere gerichtete Systeme von R-Moduln und (f_{i}: M′_{i} → M_{i}) sowie (g_{i}: M_{i} → M′′_{i}) Familien von R-Homomorphismen, so daß α_{i}f_{i} = f_{i+1}α′_{i} und α′′_{i}g_{i} = g_{i+1}α_{i} für jedes i gilt. Zeigen Sie:

(a) Die Familien (f_{i}) und (g_{i}) induzieren eindeutig bestimmte Homomorphismen

f: lim_{⟶} M′_{i} → lim_{⟶} M_{i} und g: lim_{⟶} M_{i} → lim_{⟶} M′′_{i} .

(b) Ist jede Sequenz 0 → M′_{i} ⟶^{f_{i}} M_{i} ⟶^{g_{i}} M′′_{i} → 0 exakt, so auch die resultierende

Sequenz

0 → lim_{⟶} M′_{i} ⟶ lim_{⟶} M_{i} ⟶ lim_{⟶} M′′_{i} → 0 .

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Blatt 7 Abgabe: Montag, 29.5.06

Aufgabe 1: Seien X ⊃ Y ⊃ Z topologische Räume. Leiten Sie aus den Eilenberg-Steenrod-Axiomen die lange exakte Sequenz

⋯ → H_{n}(Y, Z) → H_{n}(X, Z) → H_{n}(X, Y) ⟶^{∂_{∗}^{T}} H_{n−1}(Y, Z) → ⋯

des Tripels (X, Y, Z) her.

Aufgabe 2: Sei f: ℝ → ℝ definiert durch f(x) = \begin{cases}sin(\frac{1}{x}) & für x > 0 , \\ 0 & für x ≤ 0 . \end{cases}

(a) Sei X_{0} der Graph von f. Zeigen Sie: H_{0}(X_{0}) ≅ ℤ ⊕ ℤ.

(b) Seien

X_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≥ f(x)} ∪ {0} × [−1, 1] ,
X_{2} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≤ f(x)} ∪ {0} × [−1, 1] .

Zeigen Sie, daß die Mayer-Vietoris-Sequenz für das Paar (X_{1}, X_{2}) nicht exakt ist.

Aufgabe 3: (a) Sei 𝕋 = 𝕊^{1}×𝕊^{1} der Torus, U ⊂ 𝕋 eine kleine offene Scheibe, 𝕋′ = 𝕋−U der gelochte Torus und ∂𝕋′ sein Rand. Berechnen Sie die Homologie von 𝕋′ sowie die Abbildung H_{1}(∂𝕋′) → H_{1}(𝕋′).

(b) Sei M das Möbiusband und ∂M sein Rand. Berechnen Sie die Abbildung H_{1}(∂M) → H_{1}(M).

Aufgabe 4: Für zwei stetige Abbildungen f, g: X → Y sei

Z_{f,g} := Y ∪ X × 𝕀/( (x, 0) ∼ f(x), (x, 1) ∼ g(x) )

der doppelte Abbildungszylinder von f und g. Sei weiterhin i: Y ↪ Z die offensichtliche Inklusion.

(a) Zeigen Sie: es gibt eine lange exakte Sequenz

⋯ ⟶ H_{n}(X) ⟶^{f_{∗}−g_{∗}} H_{n}(Y) ⟶^{i_{∗}} H_{n}(Z_{f,g}) ⟶ H_{n−1}(X) ⟶^{f_{∗}−g_{∗}} H_{n−1}(Y) ⟶ ⋯

(b) Benutzen Sie diese exakte Sequenz, um die Homologie der Kleinschen Flasche zu berechnen.

Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 8 Abgabe: Donnerstag, 1.6.06

Auf diesem Blatt bezeichne H_{n} stets Homologie mit Koeffizienten in dem kommutativen Ring R mit Eins.

Aufgabe 1: Sei (X, A) ein Raumpaar. Definiere einen Kettenkomplex S̃_{∗}(X) wie folgt:

S̃_{n}(X) := \begin{cases}S_{n}(X) & für n ≠ −1 oder X = ∅, \\ R & für n = −1 und X ≠ ∅. \end{cases}

Für X ≠ ∅ ordne der Randoperator d_{0} jedem 0-Simplex das Element 1 ∈ R zu. Sei weiterhin S̃_{n}(X, A) := S̃_{n}(X)/S̃_{n}(A). Zeigen Sie: Die Homologie des Komplexes S̃_{∗}(X, A) ist kanonisch isomorph zu

H̃_{n}(X, A) := \begin{cases}Kern(H_{0}(X) → H_{0}(pt)) & falls n = 0, X ≠ ∅ und A = ∅, \\ H_{n}(X, A) & sonst. \end{cases}

H̃_{n}(X, A) nennt man die reduzierte Homologie des Paares (X, A). Wenn A = ∅ ist, schreibt man auch kürzer H̃_{n}(X) statt H̃_{n}(X, A).

Aufgabe 2: Sei x_{0} ∈ X. Zeigen Sie:

(a) Die Inklusion (X, ∅) ↪ (X, x_{0}) induziert einen Isomorphismus H̃_{0}(X) ≅ H_{0}(X, x_{0}).

(b) Die Inklusion {x_{0}} ↪ X induziert eine Spaltung H_{0}(X) ≅ R ⊕ H̃_{0}(X).

Aufgabe 3: Sei (X, A) ein Raumpaar. Zeigen Sie: Die lange exakte Homologiesequenz des Paares (X, A) induziert eine lange exakte Sequenz

⋯ ⟶ H̃_{n}(A) ⟶^{i_{∗}} H̃_{n}(X) ⟶^{j_{∗}} H̃_{n}(X, A) ⟶^{∂_{∗}} H̃_{n−1}(A) ⟶ ⋯

in reduzierter Homologie.

Aufgabe 4: Sei (X_{1}, X_{2}) ein ausschneidendes Paar in X = X_{1}∪X_{2} und sei X_{0} = X_{1}∩X_{2}. Zeigen Sie: Die Mayer-Vietoris-Sequenz von (X_{1}, X_{2}) induziert eine wiederum exakte reduzierte Mayer-Vietoris-Sequenz

⋯ ⟶ H̃_{n}(X_{0}) ⟶^{i} H̃_{n}(X_{1}) ⊕ H̃_{n}(X_{2}) ⟶^{j} H̃_{n}(X) ⟶^{∂_{∗}^{MV}} H̃_{n−1}(X_{0}) ⟶ · · · .

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Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 9 Abgabe: Donnerstag, 15.6.06 Aufgabe 1: Seien X, Y wohlpunktierte topologische Räume und Z = X ∨ Y die Einpunktvereinigung von X und Y.

(a) Zeigen Sie: Die Inklusionen i_{1} : X ↪ Z und i_{2} : Y ↪ Z induzieren Isomorphismen H̃_{n}(X) ⊕ H̃_{n}(Y) → H̃_{n}(Z), n ∈ ℕ.

(b) Sei F: ΣX → ΣX ∨ ΣX gegeben durch

F ([t, x]) := \begin{cases}i_{1}([2t, x]) & , 0 ≤ t ≤ 1/2 , \\ i_{2}([2t − 1, x]) & , 1/2 ≤ t ≤ 1 . \end{cases}

Zeigen Sie: Für u ∈ H_{n}(ΣX) gilt F_{∗}(u) = (u, u) (mit dem Isomorphismus aus (a) ).

(c) Seien f: X → W und g: Y → W zwei Abbildungen sowie h = f ∨ g: Z → W. Zeigen Sie: h_{∗}(u, v) = f_{∗}(u) + g_{∗}(v).

(d) Sei r: 𝕊^{n} → 𝕊^{n} die Spiegelung am Äquator. Zeigen Sie: r_{∗}: H_{n}(𝕊^{n}) → H_{n}(𝕊^{n}) ist die Multiplikation mit −1.

(e) Konstruieren Sie eine Abbildung f: 𝕊^{n} → 𝕊^{n}, so daß f_{∗}: H_{n}(𝕊^{n}) → H_{n}(𝕊^{n}) die Nullabbildung ist.

Aufgabe 2: Sei X = 𝕊^{1} × 𝕊^{1} und Y = 𝕊^{1} ∨ 𝕊^{1} ∨ 𝕊^{2} die Einpunktvereinigung von 𝕊^{2} und zwei Kopien von 𝕊^{1}.

(a) Zeigen Sie: H_{k}(X) ≅ H_{k}(Y) für alle k.

(b) Sei X̃ die universelle Überlagerung von X. Zeigen Sie: H_{k}(X̃) = 0 für k > 0.

(c) Sei Ỹ die universelle Überlagerung von Y. Zeigen Sie: H_{2}(Ỹ) ≠ 0.

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Blatt 10 Abgabe: Montag, 26.6.06

Aufgabe 1: Sei X ein (T_{0})-Raum und x ∈ X. Die k-te lokale Homologie von X bei x sei definiert durch

H_{k}^{loc}(X; x) := H_{k}(X, X − {x}) .

Zeigen Sie:

(a) Sei U eine Umgebung von x in X. Dann induziert die Inklusion U ↪ X Isomorphismen H_{k}^{loc}(U; x) ≅ H_{k}^{loc}(X; x).

(b) Ist X eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so gilt

H_{k}^{loc}(X; x) ≅ \begin{cases}ℤ & für k = n, \\ 0 & sonst. \end{cases}

(c) Sei X = 𝕊^{1} ∨ 𝕊^{1} und x ∈ X der Doppelpunkt. Berechnen Sie H_{k}^{loc}(X; x).

Aufgabe 2: Sei f: 𝕊^{n} → 𝕊^{n} eine stetige Abbildung (n > 0) und y ∈ 𝕊^{n} ein Punkt mit endlichem Urbild, etwa f^{−1}(y) = {x_{1}, …, x_{m}}. Seien U_{1}, …, U_{m} disjunkte Umgebungen der x_{i} und V eine Umgebung von y mit f(U_{i}) ⊂ V. Definiere den lokalen Grad grad(f; x_{i}) von f bei x_{i} als Bild der 1 unter der Komposition

ℤ=H_{n}(𝕊^{n}) ⟶^{≅} H_{n}^{loc}(𝕊^{n}; x_{i}) ⟵^{≅} H_{n}^{loc}(U_{i}; x_{i}) ⟶^{f_{∗}} H_{n}^{loc}(V; y) ⟶^{≅} H_{n}^{loc}(𝕊^{n}; y) ⟵^{≅}H_{n}(𝕊^{n})=ℤ .

Zeigen Sie:

grad(f) = ∑_{i=1}^{m} grad(f; x_{i}) .

Aufgabe 3: Sei f ∈ ℂ[z] ein Polynom vom Grad d und f̂: 𝕊^{2} → 𝕊^{2} die Erweiterung von f auf die Einpunktkompaktifizierung 𝕊^{2} von ℂ. Zeigen Sie:

(a) grad(f̂) = d.

(b) Der lokale Grad von f̂ bei p ist die Vielfachheit von p als Nullstelle von f.

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Blatt 11 Abgabe: Montag, 3.7.06

Ziel dieses Blattes ist die Berechnung der Homologie der projektiven Räume. Betrachte die CW-Zerlegung der n-Sphäre mit zwei Zellen in jeder Dimension i, 0 ≤ i ≤ n:

𝕊^{n} = e_{+}^{0} ∪ e_{−}^{0} ∪ … ∪ e_{+}^{q} ∪ e_{−}^{q} ∪ … ∪ e_{+}^{n} ∪ e_{−}^{n};

hierbei sei e_{+}^{q} (bzw. e_{−}^{q}) die obere (bzw. untere) Hemisphäre von 𝕊^{q}. Die charakteristischen Abbildungen sind gegeben durch

χ_{±}^{q}: 𝔻^{q} → 𝕊^{q} , x ↦ (x, ±\sqrt{1 − |x|^{2}}) .

Dann ist χ_{±}^{q}|_{𝕊^{q−1}} die Einbettung des Äquators (d.h. des (q − 1)-Skeletts).

Aufgabe 1: Sei (C_{∗}(𝕊^{n}), d_{∗}) der zelluläre Kettenkomplex zu dieser Zerlegung. Zeigen Sie: Der zelluläre Randoperator ist gegeben durch

d_{q+1}(e_{+}^{q+1}) = d_{q+1}(e_{−}^{q+1}) = ±(e_{+}^{q} − e_{−}^{q}) .

Aufgabe 2: Bezeichne A die Antipodenabbildung 𝕊^{n} → 𝕊^{n}. Zeigen Sie: Für die von A induzierte Kettenabbildung A_{∗} gilt

A_{∗}(e_{+}^{q}) = (−1)^{q}e_{−}^{q} .

(Hinweis: Sei Ã: 𝔻^{q} → 𝔻^{q} gegeben durch Ã(x) = −x; dann gilt A ∘ χ_{+}^{q} = χ_{−}^{q} ∘ Ã und Ã|_{𝕊^{q−1}} = A|_{𝕊^{q−1}}.)

Aufgabe 3: Sei 𝕊^{n} mit obiger CW-Struktur versehen und π: 𝕊^{n} → ℝℙ^{n} die Projektion. Dadurch wird ℝℙ^{n} zu einem CW-Komplex mit einer Zelle e^{q} = π(e_{+}^{q}) = π(e_{−}^{q}) in jeder Dimension q von 0 bis n.

(a) Sei π_{∗} die durch π induzierte Abbildung zellulärer Komplexe. Zeigen Sie:

π_{∗}(e_{−}^{q}) = (−1)^{q}e^{q} .

(b) Folgern Sie, daß der zelluläre Randoperator durch

d_{q}(e^{q}) = \begin{cases}2e^{q−1} & q gerade \\ 0 & q ungerade \end{cases}

gegeben ist.

(c) Berechnen Sie die Homologie von ℝℙ^{n} mit ganzzahligen und mit ℤ/2-Koeffizienten.

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Übungen Topologie II Sommersemester 2006

Blatt 12 Abgabe: Montag, 10.7.06 Aufgabe 1: Sei (X, 𝔛) ein CW-Komplex. Ein Teilraum Y ⊂ X heißt Unterkomplex von X, wenn es eine Teilmenge 𝔜 ⊂ 𝔛 gilt, so daß gilt:

(i) Y = ∐_{σ∈𝔜}σ,

(ii) \overline{σ} ⊂ Y für jedes σ ∈ 𝔜. Zeigen Sie:

(a) Seien X_{1}, X_{2} Unterkomplexe von X. Dann sind auch X_{1} ∩ X_{2} und X_{1} ∪ X_{2} Unterkompleze von X.

(b) Sei (X, 𝔛) ein endlicher CW-Komplex und X_{1}, X_{2} Unterkomplexe von X. Dann gilt e(X_{1} ∪ X_{2}) + e(X_{1} ∩ X_{2}) = e(X_{1}) + e(X_{2}) .

Aufgabe 2: Seien X und Y endliche CW-Komplexe. Zeigen Sie:

(a) X × Y ist in kanonischer Weise wieder ein CW-Komplex.

(b) e(X × Y) = e(X) · e(Y).

Aufgabe 3: Sei X ein endlicher CW-Komplex und k ein Körper. Zeigen Sie:

e(X) = ∑_{i≥0}(−1)^{i} dim_{k} H_{i}(X; k) .

Aufgabe 4: Sei X ein endlicher simplizialer Komplex und X̃ eine n-fache Überlagerung von X.

(a) Zeigen Sie: X̃ ist in kanonischer Weise wieder ein endlicher simplizialer Komplex.

(b) Zeigen Sie: e(X̃) = n · e(X).

(c) Berechnen Sie die Euler-Charakteristik von ℝℙ^{n}.