Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 1 Abgabe: Freitag, 28.10.2005 (in der Vorlesung) Aufgabe 1: Seien X_{i} ⊂ ℝ^{n_{i}} und Y_{i} ⊂ ℝ^{m_{i}}, i = 1, 2, Teilmengen und f_{i} : X_{i} → Y_{i} stetige Abbildungen. Dann ist durch ((1 − t)x_{1}, t, tx_{2}) ↦ ((1 − t)f_{1}(x_{1}), t, tf_{2}(x_{2})), x_{i} ∈ X_{i}, 0 ≤ t ≤ 1, eine Abbildung f_{1} ∗ f_{2} : X_{1} ∗ X_{2} → Y_{1} ∗ Y_{2} definiert. Zeigen Sie:

(a) Sind Y_{1} und Y_{2} beschränkt, so ist f_{1} ∗ f_{2} stetig.

(b) Sind alle vier Teilmengen beschränkt und f_{1}, f_{2} Homöomorphismen, so ist auch f_{1}∗f_{2} ein Homöomorphismus.

(c) Ist die Voraussetzung in (a) notwendig?

Aufgabe 2: Zeigen Sie, daß der Join kommutativ und assoziativ ist, d.h. geben Sie Homöomorphismen

(a) X ∗ Y → Y ∗ X und

(b) X ∗ (Y ∗ Z) → (X ∗ Y) ∗ Z an.

Aufgabe 3: Sei Δ^{n} das Standard-n-Simplex.

(a) Finden Sie einen Homöomorphismus Δ^{n} ⟶ Δ̃^{n} := {(t_{1}, …, t_{n}) | 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ ⋯ ≤ t_{n} ≤ 1} ⊂ ℝ^{n} .

(b) Sei B_{i} das Bild der Abbildung

φ_{i} : Δ̃^{n+1} ⟶ Δ̃^{n} × I , (t_{1}, …, t_{n+1}) ↦ (t_{1}, …, t̂_{i}, …, t_{n+1}; t_{i}) . Zeigen Sie: die B_{i} liefern eine Triangulierung von Δ̃^{n} × I.

⋆ (c) Konstruieren Sie eine Triangulierung von Δ̃^{n} × Δ̃^{m}.

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Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 2 Abgabe: Freitag, 4. 11. 2005

Aufgabe 1: Sei A = \{(x, sin(\frac{π}{x})) | x > 0\} und B = \{(0, y) | − 1 ≤ y ≤ 1\}. Zeigen Sie: A ∪ B ist nicht wegzusammenhängend.

Aufgabe 2: Für jedes k ∈ ℕ sei M_{k} ⊂ ℝ^{2} wegzusammenhängend. Ferner gelte stets M_{k+1} ⊂ M_{k}. Ist dann M := ⋂_{k} M_{k} ebenfalls wegzusammenhängend? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 3: Seien

M = \{(r cos(φ), r sin(φ), z) | r − 1 = λ sin(\frac{φ}{2}), z = λ cos(\frac{φ}{2}), −\frac{1}{2} ≤ λ ≤ \frac{1}{2}\}

und

Z = \{(cos(φ), sin(φ), z) | −\frac{1}{2} ≤ z ≤ \frac{1}{2}\}

das Möbiusband bzw. der Zylinder. Triangulieren Sie M und Z mit möglichst wenigen 2-Simplizes.

Aufgabe 4: Seien A ⊂ X ⊂ ℝ^{n} und i : A ↪ X die Inklusionsabbildung. Eine stetige Abbildung r : X → A heißt Retraktion (und A ein Retrakt von X), wenn r ∘ i = id_{A} ist. Für n > 0 sei L_{n} die Strecke im ℝ^{2}, die die Punkte p_{n} = (0, 1/n) und (1, 0) verbindet, L_{0} die Strecke von (0, 0) nach (1, 0) und A := ⋃_{n≥0} L_{n}. Zeigen Sie: A ist kein Retrakt des Einheitsquadrats X = [0, 1] × [0, 1]. (Hinweis: Jeder Verbindungsweg von p_{n} nach p_{n+1} in A muß durch (1, 0) laufen.)

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 3 Abgabe: Freitag, 18. 11. 2005

Aufgabe 1: Seien f: 𝕊^{1} → ℝ^{2} und g: 𝕊^{1} → 𝕊^{1} stetig. Zeigen Sie:

UZ(f ∘ g; p) = grad(g) UZ(f; p)

für jedes p ∈ ℝ^{2} − Bild(f).

Aufgabe 2: (a) Sei f: 𝕊^{1} → ℝ^{2} stetig und ω ein Weg im Komplement von Bild(f). Zeigen Sie: UZ(f; ω(t)) ist unabhängig von t.

(b) Sei f: 𝕊^{1} → 𝕊^{1} stetig und p ∈ ℝ^{2} − 𝕊^{1}. Dann gilt

UZ(f; p) = \begin{cases}grad(f) & für p ∈ 𝔼^{2}, \\ 0 & sonst. \end{cases}

(c) Sei f: 𝕊^{1} → 𝕊^{1} ein Homöomorphismus und p ∈ ℝ^{2} − 𝕊^{1}. Zeigen Sie:

UZ(f; p) = \begin{cases}±1 , & p ∈ 𝔼^{2} , \\ 0 & sonst. \end{cases}

Aufgabe 3: Seien f und g stetige Abbildungen 𝕊^{1} → 𝕊^{1} mit grad(f) = grad(g). Zeigen Sie: Es gibt eine stetige Abbildung H : 𝕊^{1} ×𝕀 → 𝕊^{1}mit H(x, 0) = f(x) und H(x, 1) = g(x) für alle x ∈ 𝕊^{1}.

Aufgabe 4: Seien K_{1}, K_{2}, K_{3} ⊂ 𝕊^{2} abgeschlossene Mengen, die 𝕊^{2} überdecken. Zeigen Sie: Eines der K_{i} enthält ein Paar von Antipodenpunkten. (Hinweis: Betrachten Sie die Abstandsfunktionen zu K_{i} und benutzen Sie den Satz von Borsuk-Ulam.)

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 4 Abgabe: Freitag, 25. 11. 2005

Aufgabe 1: Auf X = ℝ seien folgende Familien von Teilmengen definiert:

T_{δ} := P(X) , T_{a} := {O ⊂ X | X − O ist abzählbar} ∪ {∅}
T_{k} := {∅, X} , T_{e} := {O ⊂ X | X − O ist endlich} ∪ {∅} .

Zeigen Sie: Diese Familien sind Topologien auf X, und die Abbildungen

(X, T_{δ}) ⟶^{id} (X, T_{a}) ⟶^{id} (X, T_{e}) ⟶^{id} (X, T_{k})

sind stetig und bijektiv, aber keine Homöomorphismen.

Aufgabe 2: Sei jedem Element x der Menge X eine nicht leere Familie U_{x} von Teilmengen zugeordnet. Dann gibt es genau dann eine Topologie T auf X, so daß U_{x} jeweils die Familie der Umgebungen von x bezüglich der Topologie T ist, wenn gilt:

1. U ∈ U_{x} ⇒ x ∈ U;

2. U_{1}, U_{2} ∈ U_{x} ⇒ U_{1} ∩ U_{2} ∈ U_{x};

3. U ∈ U_{x}, V ⊃ U ⇒ V ∈ U_{x};

4. ist U ∈ U_{x}, so gibt es ein V ∈ U_{x} für das gilt: y ∈ V ⇒ U ∈ U_{y}.

Aufgabe 3: Sei X eine Menge und sei jeder Teilmenge M ⊂ X eine Teilmenge K(M) ⊂ X zugeordnet. Dann gibt es genau dann eine Topologie T auf X, so daß K(M) für jedes M der offene Kern von M bezüglich der Topologie T ist, wenn K die folgenden Eigenschaften hat:

1. K(M) ⊂ M und K(X) = X;

2. K(K(M)) = K(M);

3. K(M_{1} ∩ M_{2}) = K(M_{1}) ∩ K(M_{2}).

Aufgabe 4: Ein Filter G auf X heißt Ultrafilter, wenn es keinen Filter auf X gibt, der echt feiner ist als G. Zeigen Sie:

(a) Sei G Ultrafilter auf X. Sind A, B ⊂ X mit A ∪ B ∈ G, so ist A ∈ G oder B ∈ G.

(b) Ein Filter G ist genau dann Ultrafilter, wenn für jede Teilmenge A ⊂ X gilt: A ∈ G oder (X − A) ∈ G.

(c) Sei G Ultrafilter auf X und Fix(G) = ⋂_{G∈G} G. Ist Fix(G) ≠ ∅, so ist G ein trivialer Ultrafilter F_{p} = {F ⊂ X | p ∈ F } für ein p ∈ X.

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 5 Abgabe: Freitag, 2. 12. 2005

Aufgabe 1: Seien X_{i}, i ∈ ℕ, nichtleere topologische Räume und X = ∏_{i∈ℕ} X_{i} mit der Produkttopologie. Sei F ein Filter auf X und bezeichne F_{i} den Bildfilter der i-ten Projektion. Zeigen Sie:

(a) Ist F ein Ultrafilter, so sind alle F_{i} Ultrafilter.

(b) F konvergiert gegen x = (x_{i})_{i∈ℕ} genau dann, wenn jedes F_{i} gegen x_{i} konvergiert.

(c) Seien alle X_{i} diskret und F der Umgebungsfilter eines Punktes p ∈ X. Dann ist F kein Ultrafilter, aber alle F_{i} sind Ultrafilter.

Aufgabe 2: Seien X, Y topologische Räume, A ⊂ X ein Teilraum und f: X → Y eine Quotientenabbildung. Bezeichne T′ die Teilraumtopologie auf B := f(A) ⊂ Y und T′′ die Quotiententopologie auf B bezüglich f|_{A}. Zeigen Sie:

(a) T′′ ist feiner als T′.

(b) Sei X = ℝ^{2}, Y = 𝕊^{1} × 𝕊^{1}, A = \{(t, t\sqrt{2}) | t ∈ ℝ\} und f : X → Y gegeben durch f(t_{1}, t_{2}) = (Exp(t_{1}), Exp(t_{2})). Dann ist T′ ≠ T′′.

Aufgabe 3: Auf ℚ (mit der Standard-Topologie) sei die Äquivalenzrelation R definiert durch xRy ⇔ (x, y ∈ ℤ oder x = y). Definiere auf ℚ × ℚ die Äquivalenzrelation S durch id × R, d.h. (x_{1}, x_{2})S(y_{1}, y_{2}) ⇔ x_{1} = y_{1} und x_{2}Ry_{2}. Zeigen Sie:

(a) R ist abgeschlossen.

(b) Die kanonische Abbildung φ : (ℚ × ℚ)/S ⟶ ℚ × (ℚ/R) ist stetig und bijektiv.

(c) φ ist kein Homöomorphismus.

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Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 6 Abgabe: Freitag, 9. 12. 2005 Aufgabe 1: Es seien (U_{2}) und (U_{3}) die folgenden Bedingungen an einen topologischen Raum X: (U_{2}): Sind p, q ∈ X verschieden, so gibt es eine stetige Funktion f : X → 𝕀 mit f(p) = 0

und f(q) = 1. (U_{3}): Ist A ⊂ X abgeschlossen und p ∉ A, so gibt es eine stetige Funktion f: X → 𝕀 mit

f|_{A} = 0 und f(p) = 1. Zeigen Sie:

(a) Erfüllt X die Bedingung (U_{2}), so erfüllt X auch (T_{0}), (T_{1}), (T_{2}) und (T_{2.5}).

(b) Erfüllt X die Bedingung (U_{3}), so erfüllt X auch (T_{3}).

(c) Erfüllt X die Bedingungen (U_{3}) und (T_{0}), so erfüllt X auch (U_{2}).

Aufgabe 2: Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes X heißt dicht in X, falls ihr Abschluß ganz X ist. Zeigen Sie:

(a) A ist genau dann dicht in X, wenn A mit jeder nichtleeren offenen Teilmenge von X einen nichtleeren Schnitt hat.

(b) ℚ^{n} ist dicht in ℝ^{n}.

(c) Sei Y ein (T_{2})-Raum. Zwei stetige Abbildungen f, g: X → Y, die auf einer dichten Teilmenge von X übereinstimmen, sind gleich.

Aufgabe 3: Zeigen Sie: Ein abgeschlossener Teilraum eines (T_{4})-Raums ist wieder (T_{4}).

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 7 Abgabe: Freitag, 16. 12. 2005

Aufgabe 1: Zeigen Sie:

(a) Ist X ein (T_{5})-Raum, so auch jeder Teilraum.

(b) X ist genau dann ein (T_{5})-Raum, wenn jeder Unterraum ein (T_{4})-Raum ist.

(Hinweis: Falls A, B ⊂ X getrennt liegen, betrachten Sie Y = X − (\overline{A} ∩ \overline{B}) sowie Y ∩ \overline{A} und Y ∩ \overline{B}.)

Aufgabe 2: Seien A, B Teilmengen eines topologischen Raums X. Zeigen Sie:

(a) Sind A und B abgeschlossen in X und sind A ∪ B sowie A ∩ B zusammenhängend, so sind auch A und B zusammenhängend.

(b) Sind A und B zusammenhängend und ist \overline{A} ∩ B nicht leer, so ist A ∪ B zusammenhängend.

Aufgabe 3: Seien X, Y zusammenhängende topologische Räume und A ⊂ X, B ⊂ Y echte Teilmengen. Zeigen Sie: X × Y − A × B ist zusammenhängend.

Aufgabe 4: Ein topologischer Raum heißt lokal wegzusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine wegzusammenhängende Umgebung dieses Punktes enthält.

(a) Zeigen Sie: Ein zusammenhängender und lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend.

(b) Geben Sie ein Beispiel eines wegzusammenhängenden Raumes, der nicht lokal wegzusammenhängend ist.

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 8 Abgabe: Dienstag, 10. 1. 2006

Aufgabe 1: Sei X = Abb(ℝ, {0, 1}) = ∏_{r∈ℝ}{0, 1} mit der Produkttopologie. Zeigen Sie:

(a) X ist ein kompakter Hausdorff-Raum.

(b) Zu k-Tupeln E = (e_{1}, …, e_{k}), e_{i} ∈ ℝ paarweise verschieden, und w = (w_{1}, …, w_{k}),

w_{j} ∈ {0, 1} sei

O_{E,w} = {f: ℝ → {0, 1} | f(e_{j}) = w_{j}} .

Dann bilden die Mengen der Form O_{E,w} eine Basis der Topologie auf X.

(c) Zu M ⊂ ℝ bezeichne χ_{M} die charakteristische Funktion von M. Sei

A = {χ_{I} | I ⊂ ℝ ist abzählbar} .

Dann hat jede Folge in A eine konvergente Teilfolge.

(Hinweis: Zu einer Folge χ_{I_{n}} in A sei J = {r ∈ ℝ | r ∈ I_{n} für unendlich viele n}. Untersuchen Sie χ_{J}.)

(d) A ⊂ X ist nicht abgeschlossen, also auch nicht kompakt.

Aufgabe 2: Zeigen Sie: ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter auf X konvergiert. (Sie können dabei verwenden, daß jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.)

Aufgabe 3: Sei X ein Hausdorff-Raum, so daß jeder Teilraum von X kompakt ist. Zeigen Sie: X ist endlich. (Stimmt dies auch noch, wenn X nicht hausdorffsch ist?)

Aufgabe 4: (a) Sei X ein Hausdorff-Raum. Dann sind äquivalent:

(1) jeder Punkt hat eine kompakte Umgebung,

(2) jeder Punkt hat eine kompakte abgeschlossene Umgebung;

(3) jede Umgebung eines Punktes enthält eine kompakte Umgebung;

(4) jede Umgebung eines Punktes enthält eine kompakte abgeschlossene Umgebung.

(b) Finden Sie ein Beispiel eines nicht hausdorffschen Raums, der (3), aber weder (2) noch (4) erfüllt.

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 9 Abgabe: Dienstag, 17. 1. 2006

Aufgabe 1: Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und Y ein metrischer Raum. Zeigen Sie:

(a) Die Menge C(X, Y) der stetigen Abbildungen von X nach Y ist in kanonischer Weise ein metrischer Raum.

(b) Für eine kompakte Teilmenge K ⊂ X und eine offene Teilmenge U ⊂ Y sei

C_{K,U} := {f ∈ C(X, Y) | f(K) ⊂ U} .

Zeigen Sie: Die Mengen der Form C_{K,U} bilden eine Subbasis der metrischen Topologie von C(X, Y).

Aufgabe 2: Sei G eine Gruppe von Homöomorphismen eines Raumes X (mit der Komposition von Abbildungen als Gruppenoperation). Definiere eine Äquivalenzrelation R auf X durch

(x, y) ∈ R ⇔ es gibt ein g ∈ G mit g(x) = y .

Zeigen Sie, daß R eine offene Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe 3: Sei R eine offene Äquivalenzrelation auf dem lokal-kompakten Hausdorff-Raum X. Zeigen Sie, daß X/R wieder lokal-kompakt ist.

Aufgabe 4: Zeigen Sie: ℝP^{1} ≅ 𝕊^{1}, ℂP^{1} ≅ 𝕊^{2} und ℍP^{1} ≅ 𝕊^{4}.

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 10 Abgabe: Dienstag, 24. 1. 2006

Aufgabe 1: Sei X := 𝕊^{1} × 𝕊^{1} mit dem Basispunkt (1, 1) versehen. Berechnen Sie die von den folgenden stetigen Abbildungen induzierten Homomorphismen von Fundamentalgruppen:

(a) i_{1}, i_{2} : 𝕊^{1} → X mit i_{1}(z) = (z, 1) und i_{2}(z) = (1, z),

(b) μ : X → 𝕊^{1} mit μ(z_{1}, z_{2}) = z_{1} · z_{2},

(c) Δ : 𝕊^{1} → X mit Δ(z) = (z, z),

(d) f_{m,n} : X → 𝕊^{1} mit f_{m,n}(z_{1}, z_{2}) = z_{1}^{m} · z_{2}^{n} (für m, n ∈ ℤ).

Aufgabe 2: Sei ω̃ : 𝕀 → 𝕊^{2} durch ω̃(t) = cos(πt)·e_{1}+sin(πt)·e_{2} definiert. Sei p : 𝕊^{2} → ℝP^{2} die Projektion und ω := p ∘ ω̃. Zeigen Sie, daß ω eine Schleife in ℝP^{2} ist und daß ω ∗ ω nullhomotop ist.

Aufgabe 3: Sei X ein Raum, so daß jede stetige Abbildung f : 𝕊^{1} → X nullhomotop ist. Zeigen Sie, daß π_{1}(X, x_{0}) = 0 ist (für jeden Basispunkt x_{0}).

Aufgabe 4: Berechnen Sie die Fundamentalgruppe des Möbiusbandes. Welches Element repräsentiert die Randkurve?

Übungen Topologie I Wintersemester 2005/2006

Blatt 11 Abgabe: Dienstag, 31. 1. 2006

Aufgabe 1: (a) Seien ω, η ∈ Ω𝕊^{1}. Sei ζ ∈ Ω𝕊^{1} definiert durch ζ(t) := ω(t)·η(t). Zeigen Sie: [ζ] = [ω] + [η].

(b) Sei (X, x_{0}) ein punktierter Raum. Zeigen Sie: Für f, g ∈ [X, 𝕊^{1}]_{∗} ist π_{1}(f · g) = π_{1}(f) + π_{1}(g).

(c) Sei X wegzusammenhängend und lokal wegzusammenhängend, und f ∈ [X, 𝕊^{1}]_{∗}. Zeigen Sie: Ist π_{1}(f) = 0, so ist f nullhomotop.

(d) Zeigen Sie: [X, 𝕊^{1}]_{∗} → Hom(π_{1}(X), π_{1}(𝕊^{1})) ist injektiv.

(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß diese Abbildung ein Homomorphismus abelscher Gruppen ist.)

(e) Zeigen Sie: [ℝP^{n}, 𝕊^{1}]_{∗} = 0 für n ≥ 2.

Aufgabe 2: Sei G eine endliche Gruppe, die frei auf dem Hausdorffraum X operiere.

(a) Zeigen Sie: Die kanonische Projektion X → X/G ist eine Überlagerung.

(b) G operiere zusätzlich auf der endlichen Menge M. Dann operiert G auf X × M vermöge g(x, m) = (gx, gm). Zeigen Sie, daß die kanonische Abbildung

(X × M)/G → X/G

eine Überlagerung ist und bestimmen Sie die Blätterzahl.