Vorlesung Funktionentheorie I — SS 05 Inhaltsübersicht des ersten Teils

Erich Ossa Vorläufige Version

Inhaltsverzeichnis

1 Wiederholung: Die komplexen Zahlen 1 2 Komplexe Differenzierbarkeit 6 3 Der Integralsatz 9 4 Die Integralformel von Cauchy 15 5 Nullstellen holomorpher Funktionen 18 6 Isolierte Singularitäten 20 Dieses Skript ist noch nicht in seiner endgültigen Gestalt. Für Fehlermeldungen, Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge wäre ich dankbar.

E. Ossa

1 Wiederholung: Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen sind dadurch definiert, daß die Abbildung

R^{2} → C mit (x, y) ↦ x + iy

eine Bijektion ist. Das Bild von (0, 1) ist die imaginäre Einheit i. Ist z = x+iy mit x, y ∈ R, so ist Re(z) = x der Realteil von z und Im(z) = y der Imaginärteil von z. Die konjugiert komplexe Zahl zu z ist dann \overline{z} = x − iy. Die Multiplikation mit z als R-lineare Abbildung C → C wird bezüglich der Basis (1, i) von C durch die Matrix

μ_{z} = (\begin{matrix}x & −y \\ y & x \end{matrix})

beschrieben. Die Abbildung

μ : C → \{(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ Mat(2 × 2; R) | d = a, c = −b\}

ist ein Isomorphismus von Ringen. Insbesondere ist μ_{i} = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) und i^{2} = −1. Es wird

Re(z) = \frac{z + \overline{z}}{2} und Im(z) = \frac{z − \overline{z}}{2i} .

Ist (x, y) ∈ R^{2} − {0}, so gibt es eindeutig bestimmte r, φ ∈ R mit

r > 0, 0 ≤ φ < 2π

und

x = r cos φ, y = r sin φ .

Wir setzen mit z = x + iy

|z| = r und arg(z) = φ .

Genau genommen ist arg der Hauptwert des Arguments von z, denn der Übergang zu ψ = φ + 2kπ mit k ∈ Z führt zu

z = r(cos φ + i sin φ) = r(cos ψ + i sin ψ) .

Für z = 0 vereinbaren wir als Hauptwert arg(0) = 0. Es wird dann

μ_{z} = r (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}) =: σ_{r,φ}

die Drehstreckung mit Drehwinkel φ und Streckungsfaktor r. Wichtig ist die Dreiecksgleichung

|z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}| .  (1)

Ist z_{1} ≠ 0 ≠ z_{2}, so gilt in (1) genau dann die Gleichheit, wenn arg(z_{1}) = arg(z_{2}) ist. Zum Beweis von (1) sei r_{j} = |z_{j}| und φ_{j} = arg(z_{j}). Dann wird

|z_{1} + z_{2}|^{2} = (r_{1} cos φ_{1} + r_{2} cos φ_{2})^{2} + (r_{1} sin φ_{1} + r_{2} sin φ_{2})^{2}
= r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2}(cos φ_{1} cos φ_{2} + sin φ_{1} sin φ_{2})
= r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2r_{1}r_{2} cos(φ_{1} − φ_{2}) .

Nun ist cos(φ_{1} − φ_{2}) ≤ 1 mit Gleichheit genau dann, wenn φ_{1} − φ_{2} = 0 ist. Damit ist (1) bewiesen.

Bezüglich der Multiplikation gilt offensichtlich

|z_{1} · z_{2}| = |z_{1}| · |z_{2}|

und

arg(z_{1} · z_{2}) ≡ arg(z_{1}) + arg(z_{2}) (mod 2πZ) .

Die 2-Sphäre ist

S^{2} = {(z, ζ) ∈ C × R | |z|^{2} + ζ^{2} = 1} .

Es sei

n := (0, 1) ∈ S^{2}

der Nordpol von S^{2}. Die stereographische Projektion

Φ : S^{2} − {n} → C

ist wie folgt definiert: Für p ∈ S^{2} −{n} sei Φ(p) der Schnittpunkt des Strahls {n+t·(p−n) | t ≥ 0} mit C = C × 0.

1.1 Lemma: Für (z, ζ) ∈ S^{2} − {n} ist

Φ(z, ζ) = \frac{z}{1 − ζ} .

Φ : S^{2} − {n} → C ist bijektiv mit Umkehrabbildung

Φ^{−1}(w) = (\frac{2w}{|w|^{2} + 1}, \frac{|w|^{2} − 1}{|w|^{2} + 1}) .

Beweis: als Übungsaufgabe. □

1.2 Lemma: Für w_{1}, w_{2} ∈ C ist

∥Φ^{−1}(w_{1}) − Φ^{−1}(w_{2})∥ = \frac{2 |w_{2} − w_{1}|}{\sqrt{|w_{1}|^{2} + 1}\sqrt{|w_{2}|^{2} + 1}}

und

∥Φ^{−1}(w_{1}) − n∥ = \frac{2w_{1}}{\sqrt{|w_{1}|^{2} + 1}} .

Beweis: als Übungsaufgabe. □

Man nennt

χ(w_{1}, w_{2}) := ∥Φ^{−1}(w_{1}) − Φ^{−1}(w_{2})∥

auch den chordalen Abstand von w_{1} und w_{2}.

Wir setzen \overline{C} = C ∪ \{∞\} und erweitern Φ zu einer Bijektion

\overline{Φ} : S^{2} → \overline{C}

durch \overline{Φ}(n) = ∞.

Wir erinnern daran, daß eine Folge (z_{n}) komplexer Zahlen genau dann den Grenzwert a ∈ C hat,

lim_{n → ∞} z_{n} = a ,

wenn es zu jedem ε > 0 ein n_{0} ∈ N gibt, so daß für n ≥ n_{0} stets |z_{n} − a| < ε ist. Wir schreiben

lim_{n → ∞} z_{n} = ∞ ,

wenn es zu jedem ε > 0 ein n_{0} ∈ N gibt, so daß für n ≥ n_{0} stets |z_{n}| > \frac{1}{ε} ist.

Sei U ⊂ C eine Teilmenge, f : U → R^{m} eine Abbildung. Ist z_{∗} ∈ C ein Häufungspunkt von U, so ist

lim_{z → z_{∗}} f(z) = a

genau dann, wenn für jede Folge (z_{n}) mit z_{n} ∈ U − {z_{∗}} und lim_{n → ∞} z_{n} = z_{∗} der Grenzwert lim_{n → ∞} f(z_{n}) = a ist. Ist z_{∗} ∈ U, so heißt f stetig in z_{∗}, wenn lim_{z → z_{∗}} f(z) = f(z_{∗}) ist.

Wir betrachten nun noch Potenzreihen

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}  (2)

Es folgt leicht: Ist (2) für ein z_{1} ∈ C konvergent, so ist f(z) für alle z mit |z − z_{0}| < |z_{1} − z_{0}| absolut konvergent. Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe (2) und

λ := lim sup_{n → ∞} \sqrt[n]{|c_{n}|} ∈ \overline{R} .

Wie in der reellen Analysis beweist man die Formel von Cauchy-Hadamard

1.3 Satz: Es ist

R = \{ \begin{matrix}∞ & für λ = 0 , \\ 0 & für λ = ∞ , \\ \frac{1}{λ} & sonst . \end{matrix}

Hieraus folgt unmittelbar

1.4 Lemma: Sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n} und

g(z) = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)c_{n+1}(z − z_{0})^{n}

die durch gliedweise Differentiation von f(z) erhaltene Potenzreihe. Dann haben g(z) und f(z) den gleichen Konvergenzradius.

Schon aus dem Quotienten-Kriterium folgt leicht, daß

e^{z} = exp(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

und

sin(z) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)!}

cos(z) = ∑_{n=0}^{∞} (−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!}

den Konvergenzradius ∞ haben. Damit sind diese Reihen für alle z ∈ C absolut konvergent. Man erhält so die Funktionalgleichung

e^{z_{1}} · e^{z_{2}} = e^{z_{1}+z_{2}} .

Es gilt die wichtige Formel

e^{iφ} = cos(φ) + i sin(φ) .

Wir merken noch an, daß

e^{πi} = −1

und

e^{z+2πi} = e^{z}

ist. Für n ∈ N_{+} hat die Gleichung

z^{n} = 1

genau die Lösungen

z = e^{\frac{2πji}{n}} , j = 1, …, n .

Sei A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) eine reelle 2 × 2-Matrix mit det(A) ≠ 0. Für z ∈ C mit cz + d ∉ 0 sei

M_{A}(z) := \frac{az + b}{cz + d} .

Die Zuordnung z ↦ M_{A}(z) heißt eine Möbius-Transformation (oder auch gebrochen lineare Transformation). Es gilt

M_{A_{1}}(M_{A_{2}}(z)) = M_{A_{1}A_{2}}(z) ,

denn es wird (mit offensichtlicher Notation)

M_{A_{1}}(\frac{a_{2}z + b_{2}}{c_{2}z + d_{2}} ) = \frac{a_{1}(a_{2}z + b_{2}) + b_{1}(c_{2}z + d_{2})}{c_{1}(a_{2}z + b_{2}) + d_{1}(c_{2}z + d_{z})}
= \frac{(a_{1}a_{2} + b_{1}c_{2})z + (a_{1}b_{2} + b_{1}d_{2})}{(c_{1}a_{2} + d_{1}c_{2})z + (c_{1}b_{2} + d_{1}d_{2})} .

Für A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ist

M_{A}(z) = \frac{1}{z}

die sogenannte Inversion.

Für A = (\begin{matrix}a & b \\ 0 & 1 \end{matrix}) wird

M_{A}(z) = az + b

eine affin-lineare Abbildung.

Wir erweitern M_{A} für A = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) zu einer Abbildung

M_{A} : \overline{C} → \overline{C}

wie folgt: Ist c = 0, so ist M_{A} auf ganz C definiert; wir setzen M_{A}(∞) := ∞.

Ist c ≠ 0, so ist M_{A} auf C − \{−\frac{d}{c}\} definiert; wir setzen

M_{A}(−\frac{d}{c}) := ∞ ,
M_{A}(∞) := \frac{a}{c} .

Jede Möbius-Transformation ist Produkt von Inversionen und affin-linearen Abbildungen, denn es ist für c ≠ 0

(\begin{matrix}A & B \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}c & d \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}A & B \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}Bc & A + Bd \\ c & d \end{matrix}) ,

was für B = \frac{a}{c} und A = b − \frac{ad}{c} zu (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) wird.

Für vier paarweise verschiedene komplexe Zahlen z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} heißt

DV (z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3}) := \frac{z_{0} − z_{1}}{z_{0} − z_{3}} : \frac{z_{2} − z_{1}}{z_{2} − z_{3}} = \frac{z_{0} − z_{1}}{z_{2} − z_{1}} · \frac{z_{2} − z_{3}}{z_{0} − z_{3}}

ihr Doppelverhältnis.

1.5 Lemma: Seien z_{1}, z_{2}, z_{3} drei paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Dann gibt es genau eine Möbius-Transformation M mit

M(z_{1}) = 0, M(z_{2}) = 1 und M(z_{3}) = ∞ .

Beweis: Man verifiziert leicht, daß die Möbius-Transformation

M(z) := DV(z, z_{1}, z_{2}, z_{3})

diese Eigenschaften hat. Für die Eindeutigkeit reicht es, den Fall z_{1} = 0, z_{2} = 1, z_{3} = ∞ zu betrachten. Aber aus M_{A}(z_{j}) = z_{j} erhalten wir in diesem Fall die Gleichungen

\frac{b}{d} = 0, \frac{a + b}{c + d} = 1 und \frac{a}{c} = ∞ .

Es folgt M_{A} = id. □

2 Komplexe Differenzierbarkeit

2.1 Definition: Sei U ⊂ C eine offene Teilmenge und z_{∗} ∈ U. Eine Funktion f : U → C heißt in z_{∗} komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert

f′(z_{∗}) := lim_{z→z_{∗}} \frac{f(z) − f(z_{∗})}{z − z_{∗}}

existiert. Dieser heißt dann die Ableitung von f im Punkte z_{∗}.

Wir erinnern daran, daß die Funktion f im Punkte z_{∗} reell differenzierbar ist, wenn es eine R-lineare Abbildung Df(z_{∗}) : C → C gibt, so daß

lim_{z→z_{∗}} \frac{f(z) − f(z_{∗}) − Df(z_{∗})(z − z_{∗})}{|z − z_{∗}|} = 0

ist.

2.2 Lemma: Ist f in z_{∗} komplex differenzierbar, so ist f in z_{∗} auch reell differenzierbar, und

es ist

Df(z_{∗})(ζ) = f′(z_{∗}) · ζ .

Wir wollen eine Umkehrung hiervon finden.

2.3 Hilfssatz: Sei A : C → C eine R-lineare Abbildung. Dann ist A genau dann C-linear,

wenn es ein λ ∈ C gibt mit

A(z) = λz .

Beweis: Es ist A(z) = A(z · 1) = z · A(1). □

Wir erhalten nun:

2.4 Satz: Sei f : U → C in z_{∗} ∈ U reell differenzierbar. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. f ist in z_{∗} komplex differenzierbar.

2. Die Ableitung Df(z_{∗}) : C → C ist C-linear.

3. Mit u := Re(f) und v := Im(f) gelten im Punkte z_{∗} die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen:

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y} und \frac{∂u}{∂y} = −\frac{∂v}{∂x} .  (3)

Beweis: 1. ⇒ 2. ist gerade das obige Lemma.

2. ⇒ 1. folgt aus dem Hilfssatz: Ist Df(z_{∗})(ζ) = λζ, so wird

0 = lim_{z→z_{∗}} \frac{f(z) − f(z_{∗}) − λ(z − z_{∗})}{(z − z_{∗})}
= lim_{z→z_{∗}} (\frac{f(z) − f(z_{∗})}{z − z_{∗}} − λ) .

E.Ossa  Funktionentheorie I (SS 05)  Komplexe Differenzierbarkeit  7

2. ⇔ 3.: Die Jacobi-Matrix

J = (\begin{matrix}\frac{∂u}{∂x} & \frac{∂u}{∂y} \\ \frac{∂v}{∂x} & \frac{∂v}{∂y} \end{matrix})

von f im Punkte z_{∗} repräsentiert genau dann die Multiplikation mit einer komplexen Zahl, wenn die Gleichungen (3) erfüllt sind. □

2.5 Definition: Sei U ∈ C offen. Eine Funktion f : U → C heißt holomorph, wenn f in jedem

Punkt z_{∗} ∈ U komplex differenzierbar ist. 2.6 Satz: Die Potenzreihe

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

habe den Konvergenz-Radius R > 0. Dann ist f auf

D_{R}(z_{0}) = {z | |z − z_{0}| < R}

holomorph mit Ableitung

f′(z) = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1) c_{n+1} (z − z_{0})^{n} .

Beweis: Dies folgt sofort aus Lemma 1.4. □ Wegen Satz 2.4 können wir alle Folgerungen aus der reellen Differenzierbarkeit auf die komplexe Differenzierbarkeit anwenden.

2.7 Satz: Seien f, g : U → C in z_{∗} ∈ U komplex differenzierbar.

1. Seien λ, ν ∈ C und h = λf + νg. Dann ist h in z_{∗} komplex differenzierbar mit h′(z_{∗}) = λf′(z_{∗}) + νg′(z_{∗}).

2. h = f · g ist in z_{∗} komplex differenzierbar mit h′(z_{∗}) = f′(z_{∗}) · g(z_{∗}) + f(z_{∗}) · g′(z_{∗}).

3. Ist f(z_{∗}) ≠ 0, so ist h(z) = \frac{1}{f(z)} in einer Umgebung U_{1} ⊂ U von z_{∗} definiert und in z_{∗} komplex differenzierbar mit h′(z_{∗}) = −\frac{f′(z_{∗})}{f(z_{∗})^{2}} .

2.8 Satz: Seien U, V ⊂ C offen, und seien f : U → V und g : V → C. Sei h(z) := g(f(z)). Sei f in z_{∗} und g in f(z_{∗}) komplex differenzierbar. Dann ist h in z_{∗} komplex differenzierbar mit h′(z_{∗}) = g′(f(z_{∗}))f′(z_{∗}). Die analogen Aussagen gelten dann natürlich auch für Holomorphie.

2.9 Satz: Seien U, V ⊂ C offen und f : U → V bijektiv und holomorph. Sei f^{−1} stetig und sei f′(z) ≠ 0 für alle z ∈ U. Dann ist auch h = f^{−1} holomorph und h′(f(z)) = \frac{1}{f′(z)}.

Bemerkung: Wir werden später sehen, daß die Stetigkeit von f^{−1} und das Nicht-Verschwinden von f′(z) aus den anderen Voraussetzungen folgen.

Beispiel: Sei U = {x + iy ∈ C | x > 0 und −π < y < π} und V = C − {z ∈ C | z reell und ≤ 0}. Dann ist exp |_{U} : U → V bijektiv. Es sei Log : V → U die holomorphe Umkehr-Abbildung. Dies ist der sogenannte Hauptwert des Logarithmus.

Für eine differenzierbare relle Funktion f : U → R hatten wir die Ableitung an der Stelle z_{∗} ∈ U auch mit

df|_{z_{∗}} = Df(z_{∗}) : C → R

bezeichnet. Es ist üblich, auch für komplexe reell differenzierbare Funktionen f : U → C diese Bezeichnung zu verwenden. Ist u = Re(f) und v = Im(f), so wird also

df|_{z_{∗}} = du|_{z_{∗}} + i dv|_{z_{∗}} : C → C

als reelle lineare Abbildung. Es wird insbesondere (wenn wir noch den Zusatz |_{z_{∗}} unterdrücken)

dz = dx + i dy und d\overline{z} = dx − i dy ,

also

dx = \frac{1}{2}(dz + d\overline{z}) und dy = \frac{1}{2i}(dz − d\overline{z}) .

Nun ist

df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy ,

wobei natürlich \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂u}{∂x} + i\frac{∂v}{∂x} und \frac{∂f}{∂y} = \frac{∂u}{∂y} + i\frac{∂v}{∂y} gesetzt ist. Es folgt:

df = \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y} ) dz + \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y} ) d\overline{z}

Dies veranlaßt zu den Bezeichnungen

\frac{∂f}{∂z} := \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} − i\frac{∂f}{∂y} ) und \frac{∂f}{∂z} := \frac{1}{2}(\frac{∂f}{∂x} + i\frac{∂f}{∂y} ) .

Diese werden auch als Wirtinger-Ableitungen bezeichnet. Es gilt dann

df = \frac{∂f}{∂z} dz + \frac{∂f}{∂\overline{z}} d\overline{z} .

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen schreiben sich nun einfach als

\frac{∂f}{∂\overline{z}} = 0 .

3 Der Integralsatz

3.1 Definition: Sei U ⊂ C offen, f : U → C stetig. Sei ω : [a, b] → U ein stückweise stetig differenzierbarer Weg (d.h. es gibt eine Zerlegung a = t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = b von [a, b] , so daß ω auf jedem Teilintervall [t_{j−1}, t_{j}] stetig differenzierbar ist). Für t ∈ [a, b] sei ω̇(t) ∈ C der Tangentenvektor von ω. Das Integral von f entlang ω ist definiert durch

∫_{ω} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(ω(t)) ω̇(t) dt .

Im folgenden werden wir einen stückweise stetig differenzierbaren Weg kurz einen Integrationsweg nennen. Bemerkung:

1. Ist g : [a, b] → C und u(t) = Re(g(t)), v(t) = Im(g(t)), so ist

∫_{a}^{b} g(t) dt = ∫_{a}^{b} u(t) dt + i ∫_{a}^{b} v(t) dt .

2. Daß ω̇(t) an endlich vielen Stellen t nicht definiert ist, spielt keine Rolle. Ebenso braucht für f nur die Stetigkeit auf der Menge

Spur(ω) = {ω(t) | a ≤ t ≤ b}

mit Ausnahme endlich vieler Punkte vorausgesetzt werden.

3. Ist φ : [c, d] → [a, b] stetig differenzierbar mit φ(c) = a und φ(d) = b, so ist

∫_{ω∘φ} f(z) = ∫_{ω} f(z) dz

nach der Substitutionsregel.

3.2 Hilfssatz: Sei U ⊂ C offen, f : U → C stetig. Seien ω : [a, b] → U und η : [c, d] → U Integrationswege mit ω(b) = η(c). Sei ω ∗ η: [a, b + d − c] → U der Weg mit

ω ∗ η(t) = \begin{cases}ω(t) & für a ≤ t ≤ b, \\ η(t − b + c) & für b ≤ t ≤ b + d − c, \end{cases}

sowie ω^{−1} : [a, b] → C der zu ω entgegengesetzte Weg mit ω^{−1}(t) = ω(a + b − t). Dann ist

1. ∫_{ω∗η} f(z)dz = ∫_{ω} f(z)dz + ∫_{η} f(z)dz;

2. ∫_{ω^{−1}} f(z)dz = − ∫_{ω} f(z)dz.

Beweis: als Übungsaufgabe. □

3.3 Satz: Sei F : U → C holomorph mit stetiger Ableitung f(z) = F′(z). Dann gilt

∫_{ω} f(z) dz = F (ω(b)) − F (ω(a)) .

Insbesondere ist für einen geschlossenen Weg ω (d.h. mit ω(a) = ω(b)) das Integral

∮_{ω} f(z) dz = 0 .

Beweis: Die Funktion F (ω(t)) hat als Ableitung die Funktion f(ω(t)) ω̇(t). □ Wegen der vorausgesetzten (stückweisen) Stetigkeit werden alle unsere Integranden absolut integrierbar sein. Insbesondere ist also

| ∫_{ω} f(z) dt| = | ∫_{a}^{b} f(ω(t))ω̇(t) dt|
≤ ∫_{a}^{b} |f(ω(t)) · ω̇(t)| dt .

Hieraus folgt die Standard-Abschätzung

3.4 Hilfssatz:

| ∫_{ω} f(z) dz| ≤ M · L(ω)

wobei M = sup{|f(ω(t))| | a ≤ t ≤ b} und

L(ω) = ∫_{a}^{b} |ω̇(t)| dt

die Länge von ω ist.

3.5 Beispiel: Sei ω(t) = z_{0} + re^{it} für 0 ≤ t ≤ 2π. Dann ist für n ∈ Z mit n ≠ −1

∫_{ω} (z − z_{0})^{n} dz = 0 ,

denn (z − z_{0})^{n} hat die Stammfunktion \frac{1}{n + 1}(z − z_{0})^{n+1}. Für n = −1 erhalten wir aber

∫_{ω} \frac{dz}{z − z_{0}} = ∫_{0}^{2π} i dt = 2πi .

3.6 Satz: Sei f : U → C stetig. Dann besitzt f genau dann eine Stammfunktion, wenn für jeden geschlossenen Integrationsweg ω in U gilt:

∫_{ω} dz = 0

Beweis: Sei o.B.d.A. U zusammenhängend. Sei z_{∗} ∈ U und für jedes z ∈ U sei ω_{z} ein Integrationsweg in U mit Anfangspunkt z_{∗} und Endpunkt z. Dann ist

F (z) := ∫_{ω_{z}} f(ζ) dζ

unabhängig von der Wahl des Verbindungsweges ω_{z}. Für k ∈ C − {0} sei γ(t) := z + tk für 0 ≤ t ≤ 1. Ist |k| so klein, daß γ ganz in U verläuft, so ist

\frac{F (z + k) − F (z)}{k} = \frac{1}{k} ∫_{ω_{z+k}} f(ζ) dζ − \frac{1}{k} ∫_{ω_{z}} f(ζ) dζ
= \frac{1}{k} ∫_{γ} f(ζ) dζ

= ∫_{0}^{1} f(z + tk) dt .

Es folgt

lim_{k → 0} \frac{F (z + k) − F (z)}{k} = f(z) .

□

Als Übungsaufgabe zeige man (mit dem gleichen Beweis):

3.7 Lemma (Lemma von Morera): Sei U ∈ C offen und sternförmig bezüglich z_{∗} ∈ U. Sei f : U → C stetig. Ist für jedes ganz in U enthaltene Dreieck D

∫_{∂D} f(z) dz = 0 ,

so hat f eine Stammfunktion.

Hierbei ist ∂D der Rand des Dreiecks D. Hat D die Eckpunkte z_{0}, z_{1} und z_{2} (in dieser Reihenfolge), so ist ∂D der Weg

t ↦ \{ \begin{matrix}z_{0} + t(z_{1} − z_{0}) & , & 0 ≤ t ≤ 1 , \\ z_{1} + (t − 1)(z_{2} − z_{1}) & , & 1 ≤ t ≤ 2 , \\ z_{2} + (t − 2)(z_{0} − z_{2}) & , & 2 ≤ t ≤ 3 . \end{matrix}

Sei R = {z ∈ C | a ≤ Re(z) ≤ b und c ≤ Im(z) ≤ d} ein abgeschlossenes (nicht-entartetes, achsenparalleles) Rechteck. Die Eckpunkte von R sind r_{0} = a + c i, r_{1} = b + c i, r_{2} = b + d i und r_{3} = a + d i. Unter dem Rand ∂R von R verstehen wir den Weg

t ↦ \{ \begin{matrix}r_{0} + t(r_{1} − r_{0}) & , & 0 ≤ t ≤ 1 , \\ r_{1} + (t − 1)(r_{2} − r_{1}) & , & 1 ≤ t ≤ 2 , \\ r_{2} + (t − 2)(r_{3} − r_{2}) & , & 2 ≤ t ≤ 3 , \\ r_{3} + (t − 3)(r_{0} − r_{3}) & , & 3 ≤ t ≤ 4 . \end{matrix}

3.8 Satz (Integralsatz für Rechtecke): Sei U ⊂ C offen und f : U → C holomorph. Dann ist für jedes ganz in U liegende (achsenparallele) Rechteck R

∫_{∂R} f(z) dz = 0 .

Beweis: Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, daß

I := | ∫_{∂R} f(z)dz| ≠ 0

ist. Es sei L die Länge von ∂R und diam(R) = D der Durchmesser von R.

Wir finden dann durch fortgesetztes Vierteln eine Folge von achsenparallelen Rechtecken

R = R^{(0)} ⊃ R^{(1)} ⊃ … ⊃ R^{n} ⊃ R^{(n+1)} ⊃ …

mit

L(∂R^{(n)}) = 2^{−n}L sowie diam(R^{(n)}) = 2^{−n}D

und

| ∫_{∂R^{(n)}} f(z)dz| ≥ 4^{−n}I .  (4)

Sei p ∈ ⋂_{n} R^{(n)}. Dann ist für z in einer Umgebung von p

f(z) = f(p) + f′(p)(z − p) + ϱ(z) ,

wobei

lim_{z → p} \frac{ϱ(z)}{|z − p|} = 0

ist.

Sei ε > 0 und sei δ > 0 so gewählt, daß gilt

|z − p| < δ ⇒ |ϱ(z)| < |z − p| · ε .

Ferner sei n so gewählt, daß für z ∈ R^{(n)} stets

|z − p| < δ

ist. Für z ∈ R^{(n)} ist dann |ϱ(z)| < 2^{−n}Dε.

Nun ist

∫_{∂R^{(n)}} f(z)dz = ∫_{R^{(n)}} ϱ(z)dz ,

da f(z) − ϱ(z) eine Stammfunktion hat. Es folgt

| ∫_{∂R^{(n)}} f(z)dz| = | ∫_{∂R^{(n)}} ϱ(z)dz|
≤ 2^{−n}Dε · L(∂R^{(n)})
≤ 2^{−n}Dε · 2^{−n}L
≤ 4^{−n}DLε .

Wählen wir also ε < \frac{I}{DL}, so erhalten wir einen Widerspruch zu der früheren unteren Abschätzung (4). □

3.9 Satz (Integralsatz für singuläre Rechtecke): Sei U ⊂ C offen, f : U → C holomorph. Weiter sei R ⊂ C ein achsenparalleles Rechteck und φ : R → U stetig differenzierbar. Dann ist

∫_{φ∘∂R} f(z) dz = 0 .

Beweis: Sei |D_{φ(p)}| ≤ C für alle p ∈ R. Dann gilt für jeden in R verlaufenden Weg ω die Ungleichung

L(φ ∘ ω) ≤ C · L(ω) .

Nun nehmen wir an, daß

I := | ∫_{φ∘∂R} f(z)dz| ≠ 0

ist. Es sei wieder L die Länge von ∂R und diam(R) = D der Durchmesser von R. Wir finden dann wie oben eine Folge von achsenparallelen Rechtecken

R = R^{(0)} ⊃ R^{(1)} ⊃ … ⊃ R^{n} ⊃ R^{(n+1)} ⊃ …

mit

L(∂R^{(n)}) = 2^{−n}L sowie diam(R^{(n)}) = 2^{−n}D

und

| ∫_{φ∘∂R^{(n)}} f(z)dz| ≥ 4^{−n}I .  (5)

Sei q ∈ ⋂_{n} R^{(n)} und p = φ(q) ∈ U. Wieder schreiben wir für z in einer Umgebung von p

f(z) = f(p) + f′(p)(z − p) + ϱ(z) ,

wobei

lim_{z → p} \frac{ϱ(z)}{|z − p|} = 0

ist.

Sei ε > 0 und sei δ > 0 so gewählt, daß gilt

|z − p| < δ ⇒ |ϱ(z)| < |z − p| · ε .

Für w ∈ R^{(n)} ist |φ(w) − p| < 2^{−n}CD. Sei n so gewählt, daß für w ∈ R^{(n)} stets

|φ(w) − p| < δ

ist; dann ist für w ∈ R^{(n)} stets |ϱ(φ(w))| < 2^{−n}CDε.

Nun ist

∫_{φ∘∂R^{(n)}} f(z)dz = ∫_{φ∘∂R^{n}} ϱ(z)dz ,

da f(z) − ϱ(z) eine Stammfunktion hat. Es folgt

| ∫_{φ∘∂R^{n}} f(z)dz| = | ∫_{φ∘∂R^{(n)}} φ^{(z)}dz|
≤ 2^{−n}CDε · L(φ ∘ R^{(n)})
≤ 2^{−n}CDε · 2^{−n}CL
≤ 4^{−n}C^{2}DLε

Wählen wir also ε < \frac{I}{C^{2}DL}, so erhalten wir einen Widerspruch zu der früheren unteren Abschätzung (5). □

3.10 Satz: Sei U ⊂ C ein Gebiet, das sternförmig bezüglich z_{∗} ∈ U ist. Ist f : U → C holomorph, so hat f eine Stammfunktion.

Beweis: Dies folgt nun sofort aus dem Integralsatz und dem Lemma 3.7 von Morera. □

3.11 Satz: Seien U ⊂ C offen und f : U → C holomorph. Seien ω_{0}, ω_{1} : [a, b] → U Integrationswege. Es gebe eine stetig differenzierbare Abbildung φ : [a, b] × [0, 1] → U mit

φ(t, 0) = ω_{0}(t) und φ(t, 1) = ω_{1}(t) .

Ferner sei

φ(a, s) = ω_{0}(a) und φ(b, s) = ω_{0}(b) für alle s  (6)

oder

φ(a, s) = φ(b, s) für alle s .  (7)

Dann ist

∫_{ω_{0}} f(z)dz = ∫_{ω_{1}} f(z)dz .

Man nennt φ eine Homotopie zwischen ω_{0} und ω_{1}. Genauer spricht man im ersten Fall von einer Homotopie mit festgehaltenen Endpunkten und im zweiten Fall von einer Homotopie geschlossener Wege.

3.12 Satz: Seien U ⊂ C offen und f : U → C holomorph. Seien r < R positive reelle Zahlen, so

daß der Kreisring

{z | r < |z − z_{0}| < R}

ganz in U enthalten ist. Dann ist

∫_{|z−z_{0}|=R}f(z) dz = ∫_{|z−z_{0}|=r}f(z) dz .

Hierin bezeichnet ∫_{|z−z_{0}|=R}f(z) dz das Integral über den positiv orientierten Rand des Kreises

um z_{0} mit Radius R, das heißt über den Weg ω(t) = z_{0} + Re^{2πit} mit 0 ≤ t ≤ 1.

4 Die Integralformel von Cauchy

Generalvoraussetzung: U ⊂ C ist eine offene Teilmenge und f : U → C ist holomorph. Für z_{0} ∈ U und eine positive reelle Zahl r, so daß

\overline{D_{r}(z_{0})} = \{z | |z − z_{0}| ≤ r\}

ganz in U enthalten ist, setzen wir

M(f; z_{0}, r) := sup{|f(z)| | |z − z_{0}| = r} .

Wir setzen im folgenden stets stillschweigend voraus, daß r > 0 ist.

4.1 Satz (Integralformel von Cauchy): Sei z_{0} ∈ U und \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U. Dann ist für |z−z_{0}| < r

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} .

Beweis: Es ist für genügend kleines ε > 0

∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} = ∫_{|ζ−z|=ε} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} ,

wie man leicht mit Satz 3.11 einsieht. Es wird weiter

∫_{|ζ−z|=ε} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} = ∫_{|ζ−z|=ε} \frac{f(ζ) − f(z)}{ζ − z} dζ + f(z) ∫_{|ζ−z|=ε} \frac{dζ}{ζ − z} .

Das rechte Integral haben wir zu 2πi berechnet. Aber das erste konvergiert gegen 0 für ε → 0, während die linke Seite unabhängig von ε ist. □

4.2 Korollar (Mittelwert-Eigenschaft): Unter den Voraussetzungen des Satzes ist

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(z + re^{it}) dt .

Hieraus erhalten wir:

4.3 Satz (Maximum-Prinzip I): Nimmt |f(z)| in z = z_{0} ∈ U ein lokales Maximum an, so ist f in einer Umgebung von z_{0} konstant.

Beweis: Wäre die Behauptung falsch, so gäbe es ein z_{1} ∈ D_{r}(z_{0}) mit |f(z_{1})| < |f(z_{0}|. Für r_{1} = |z_{1} − z_{0}| wäre dann aber

|\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(z_{0} + r_{1}e^{it}) dt| < |f(z_{0}| .  □

Wir werden später sehen, daß für zusammenhängendes U sogar die Konstanz von f auf ganz U folgt.

4.4 Satz (Potenzreihen-Entwicklung): Sei \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U und

c_{n} := \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} .

Dann gilt für z ∈ D_{r}(z_{0})

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

mit absoluter Konvergenz. Beweis: Für ζ ∈ U mit |ζ − z_{0}| = r ist

\frac{f(ζ)}{ζ − z} = \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0}) − (z − z_{0})}
= \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})} (1 − \frac{z − z_{0}}{ζ − z_{0}} )^{−1}
= ∑_{n=0}^{∞} \frac{f(ζ)}{(ζ − z_{0})}(\frac{z − z_{0}}{ζ − z_{0}} )^{n} .

Diese Funktionenreihe konvergiert absolut und gleichmäßig auf {ζ | |ζ −z_{0}| = 1}. Wir dürfen daher gliedweise integrieren und erhalten aus der Integralformel die Behauptung. □

4.5 Korollar: Eine holomorphe Funktion ist unendlich oft (komplex) differenzierbar. 4.6 Korollar: Sei \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U. Dann ist

f^{(n)}(z_{0}) = \frac{n!}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} .

Wie im Beweis von Satz 4.1 erhält man hieraus, daß für |z − z_{0}| < r auch

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=r} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z)^{n+1}} .

ist. 4.7 Korollar: Sei \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U. Dann ist

|f^{(n)}(z_{0})| ≤ \frac{n!}{r^{n}} M(f; z_{0}, r) .

Als Folgerung erhalten wir 4.8 Satz (Satz von Liouville): Sei f : C → C holomorph und beschränkt. Dann ist f kon-

stant. Beweis: Ist |f(z)| ≤ C für alle z, so folgt |f′(z_{0})| ≤ \frac{C}{r}, also f′(z_{0}) = 0. □ Eine auf ganz C definierte holomorphe Funktion nennt man auch eine ganze Funktion.

E.Ossa  Funktionentheorie I (SS 05)  Integralformel von Cauchy  17

4.9 Hilfssatz: Sei \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U und

m := inf{|f(z)| | |z − z_{0}| = r}

Gilt |f(z_{0})| < m, so hat f in D_{r}(z_{0}) eine Nullstelle. Beweis: Andernfalls wäre g(z) := \frac{1}{f(z)} in einer Umgebung von \overline{D_{r}(z_{0})} holomorph. Es folgt

\frac{1}{|f(z_{0})|} = |g(z_{0})| ≤ M(g; z_{0}, r) = \frac{1}{m}

im Widerspruch zur Voraussetzung. □ Als Folgerung erhalten wir den

4.10 Satz (Fundamentalsatz der Algebra): Sei f(z) = ∑_{j=0}^{n} a_{j}z^{j} ∈ C[z] ein komplexes Polynom vom Grad n > 0. Dann hat f eine Nullstelle. Beweis: Es ist mit b = ∑_{j=0}^{n−1} |a_{j}| für |z| ≥ 1

|f(z)| ≥ |a_{n}| · |z|^{n} − | ∑_{j=0}^{n−1} a_{j}z^{j}|
≥ |a_{n}| · |z|^{n} − b · |z|^{n−1} ,

was für z → ∞ gegen ∞ geht. Es gibt also ein r > 0, so daß für |z − z_{0}| ≥ r stets |f(z)| > |f(0)| ist. Die Behauptung folgt nun aus dem Hilfssatz. □

5 Nullstellen holomorpher Funktionen

5.1 Satz (Identitätssatz für Potenzreihen): Habe

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{∗})^{n}

den Konvergenzradius R > 0. Seien z_{k} ∈ {z | 0 < |z − z_{∗}| < R} mit

f(z_{k}) = 0 und lim_{k → ∞} z_{k} = z_{∗} .

Dann ist f(z) = 0 (d.h. alle c_{n} sind Null).

Beweis: Es ist f(z_{∗}) = 0, also c_{0} = 0 und f(z) = (z − z_{∗})g(z). Auf g(z) treffen die Voraussetzungen wieder zu. Induktiv erhält man so das Verschwinden aller c_{n}. □

5.2 Satz (Identitätssatz für holomorphe Funktionen): Sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → C holomorph. Sei z_{∗} ∈ U und seien z_{k} ∈ U − {z_{∗}} mit

f(z_{k}) = 0 und lim_{k → ∞} z_{k} = z_{∗} .

Dann ist f(z) = 0 für alle z ∈ U.

Beweis: Sei W := {z ∈ U | f(ζ) = 0 für ζ in einer Umgebung von z}. Dann ist W offen in U. Es ist z_{∗} ∈ W nach Satz 5.1. Wäre W ≠ U, so gäbe es ein ζ_{∗} ∈ U − W und ζ_{k} ∈ W mit lim_{k → ∞} ζ_{k} = ζ_{∗}. Aus Satz 5.1 folgt nun ζ_{∗} ∈ W. □

5.3 Definition: Sei f : U → C holomorph und k ≥ 1.

1. f hat in z_{0} ∈ U eine k-fache Nullstelle, wenn gilt:

f(z_{0}) = 0 und f^{(r)}(z_{0}) = 0 für 1 ≤ r < k, aber f^{(k)}(z_{0}) ≠ 0 .

2. Sei w_{0} ∈ C. Dann hat f hat in z_{0} ∈ U eine k-fache w_{0}-Stelle, wenn g(z) = f(z) − w_{0} in z_{0} eine k-fache Nullstelle hat.

5.4 Satz: Sei f : U → C holomorph. Hat f in z_{0} ∈ U eine 1-fache w_{0}-Stelle, so ist f in einer Umgebung U′ von z_{0} biholomorph (d.h. f : U′ → f(U′) ist bijektiv und auch die Umkehrbildung f^{−1} : f(U′) → U′ ist holomorph).

5.5 Satz: Sei f : U → C holomorph und sei z_{0} ∈ U eine k-fache Nullstelle von f mit k > 1. Dann gibt es eine Umgebung V von z_{0} in U und eine holomorphe Funktion h : V → C, die in z_{0} eine einfache Nullstelle hat, so daß gilt:

f(z) = h(z)^{k} für z ∈ V .

E.Ossa  Funktionentheorie I (SS 05)  Nullstellen  19

Bemerkung: Es folgt, daß h in einer Umgebung von z_{0} biholomorph ist. Beweis: In einer Umgebung von z_{0} ist

f(z) = z^{k} · g(z) ,

wobei g holomorph ist mit g(z_{0}) =: w_{0} ≠ 0. Nun gibt es eine Umgebung W von w_{0}, auf der ein Zweig λ des Logarithmus definiert ist. Sei V := g^{−1}(W) und

h(z) := z · exp(\frac{1}{k} · λ(g(z)))

Dann ist auf V

h(z)^{k} = z^{k} · exp(λ(g(z))) = z^{k} · g(z) .
□

5.6 Korollar: Sei f : U → C holomorph. Sei z_{0} ∈ U und w_{0} ∈ C, so daß f in z_{0} eine k-fache

w_{0}-Stelle hat mit k > 1. Dann gibt es ein ε > 0, so daß mit

W := {w | |w − w_{0}| < ε} und V = f^{−1}(W) .

gilt:

1. w_{0} hat genau ein Urbild unter f in V, nämlich z_{0}.

2. Jedes w ∈ W − {w_{0}} hat genau k Urbilder unter f in V. Bemerkung: Wenn ε diese Eigenschaften hat, so auch jedes ε′ mit 0 < ε′ < ε. Beweis: Wir wenden den Satz auf die Funktion f(z) − w_{0} an. □

5.7 Satz (Satz von der Gebietstreue): Sei U ⊂ C ein Gebiet und f : U → C holomorph. Ist f nicht konstant, so ist die Bildmenge f(U) ⊂ C wieder ein Gebiet. Beweis: Daß f(U) zusammenhängend ist, ist klar. Der wesentliche Punkt ist die Offenheit, die nun aus dem Korollar folgt. □

5.8 Korollar: Seien U, V ⊂ C offen. Sei f : U → V bijektiv und holomorph. Dann ist f biholomorph (d.h. auch die Umkehrbildung f^{−1} : V → U ist holomorph). Beweis: Ist f(z_{0}) = w_{0}, so hat f nach Korollar 5.6 in z_{0} eine einfache w_{0}-Stelle. □

6 Isolierte Singularitäten

6.1 Definition: Sei U ⊂ C offen und f : U → C holomorph. Ein z_{0} ∈ C − U heißt eine isolierte Singularität von f, wenn es ein ε > 0 gibt, so daß die Menge {z ∈ C | 0 < |z − z_{0}| < ε} ganz in U enthalten ist.

6.2 Satz (Riemannscher Hebbarkeitssatz): Sei z_{0} ∈ C − U eine isolierte Singularität von f. Ist f auf {z ∈ U | 0 < |z − z_{0}| < ε} beschränkt, so existiert eine holomorphe Funktion g : U ∪ {z_{0}} → C mit g|_{U} = f.

Beweis: V := U ∪ {z_{0}} ist wieder offen. Sei h : V → C definiert durch h(z_{0}) = 0 und h(z) = (z − z_{0})f(z) sonst. Dann ist h stetig und außerhalb z_{0} holomorph. Mit Hilfe des Lemmas 3.7 von Morera folgt leicht, daß h holomorph auf V ist. Dann ist

g(z) := \{ \begin{matrix}\frac{h(z)}{z − z_{0}} & , & z ≠ z_{0} , \\ h′(z_{0}) & , & z = z_{0} , \end{matrix}

die gesuchte Funktion. □

Bemerkung: Unter der Voraussetzung des Satzes nennt man z_{0} eine hebbare isolierte Singularität von f.

6.3 Definition: Sei z_{0} ∈ C − U eine isolierte Singularität von f, die nicht hebbar ist. Dann heißt z_{0} eine Polstelle von f, wenn es ein k ≥ 1 gibt, so daß g(z) = (z − z_{0})^{k}f(z) in z_{0} eine hebbare isolierte Singularität hat. Andernfalls heißt z_{0} eine wesentliche Singularität von f.

Bemerkung: Ist z_{0} Polstelle von f und ist die natürliche Zahl k in der Definition minimal gewählt, so ist

f(z) = \frac{g(z)}{(z − z_{0})^{k}} und g(z_{0}) ≠ 0 ,

wobei g : U → C holomorph ist. Insbesondere ist lim_{z → z_{0}} f(z) = ∞.

Man nennt dann z_{0} genauer eine Polstelle k-ter Ordnung von f.

Beispiel: Sei f : C − {0} → C durch

f(z) = sin (\frac{1}{z})

definiert. Dann hat f im Nullpunkt eine wesentliche Singularität, denn für jedes k ∈ N hat

die Funktion z^{k} · sin (\frac{1}{z}) unendlich viele Nullstellen in einer Umgebung des Nullpunkts.

6.4 Definition: Sei U ⊂ C offen und

f : U → C ∪ {∞}

eine Abbildung. Sei U_{reg} := {z ∈ U | f(z) ≠ ∞}. Dann heißt f eine meromorphe Funktion auf U, wenn f auf U_{reg} holomorph ist und wenn alle Punkte von U − U_{reg} Polstellen von f|_{U_{reg}} sind.

6.5 Lemma: Sei U ⊂ C ein Gebiet und seien g, h : U → C holomorph, wobei h nicht konstant gleich Null ist. Dann definiert

f(z) = \{ \begin{matrix}\frac{g(z)}{h(z)} & , & h(z) ≠ 0 , \\ lim_{ζ → z} \frac{g(ζ)}{h(ζ)} & , & h(z) = 0 , \end{matrix}

eine meromorphe Funktion auf U.

Bemerkung: Die Nullstellen von h sind entweder Polstellen von f oder hebbare isolierte Singularitäten von f.

Beispiel: tan(z) = \frac{sin(z)}{cos(z)} definiert eine meromorphe Funktion auf C, welche (für k ∈ Z)

in den Punkten n_{k} = kπ einfache Nullstellen und in den Punkten p_{k} = \frac{2k + 1}{2} π Polstellen erster Ordnung hat.

6.6 Lemma: Sei U ⊂ C ein Gebiet und M(U) die Menge der meromorphen Funktionen auf U. Dann ist M(U) ein Körper.

Es ist klar, daß die Ableitung einer meromorphen Funktion wieder meromorph ist. Eine meromorphe Funktion braucht aber keine Stammfunktion zu haben, wie das Beispiel der meromorphen Funktion f(z) = z^{−1} auf C zeigt.

6.7 Satz (Casorati-Weierstraß): Sei U ⊂ C offen und f : U → C holomorph. Sei z_{∗} ∈ C − U eine wesentliche isolierte Singularität von f. Dann gibt es zu jedem w_{∗} ∈ C eine Folge (z_{k}) von Punkten von U mit

lim_{k → ∞} z_{k} = z_{∗} und lim_{k → ∞} f(z_{k}) = w_{∗} .

Beweis: Die Behauptung ist äquivalent dazu, daß es zu jedem ε > 0 ein z ∈ U gibt mit |z − z_{∗}| < ε und |f(z) − w_{∗}| < ε. Wäre dies nicht der Fall, so gäbe es ein ε > 0 mit

|z − z_{∗}| < ε ⟹ |f(z) − w_{∗}| ≥ ε .

Dann hätte aber

g(z) := \frac{1}{f(z) − w_{∗}}

bei z_{∗} als beschränkte Funktion eine hebbare Singularität, und f(z) wäre nach Lemma 6.5 bei z_{∗} meromorph. □ Bemerkung: Es gilt sogar der folgende Satz von Picard: Ist f : U → C holomorph und z_{∗} eine wesentliche Singularität von f, so gibt es ein w_{0} ∈ C, so daß zu jedem w_{∗} ∈ C − {w_{0}} eine Folge (z_{k}) von Punkten von U existiert mit

lim_{k → ∞} z_{k} = z_{∗} und f(z_{k}) = w_{∗} .

6.8 Definition: Eine Laurent-Reihe um z_{0} ist eine Reihe der Gestalt

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}(z − z_{o})^{n} .

Bemerkung: Genauer sollte man f(z) als ein Paar von Potenzreihen

f_{+}(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

und

f_{−}(z) = ∑_{n=1}^{∞} c_{−n}(\frac{1}{z − z_{0}} )^{n}

auffassen. Man nennt f_{−}(z) den Hauptteil von f und f_{+}(z) den Nebenteil von f.

6.9 Hilfssatz: Sei R der Konvergenzradius von f_{+}(z) und s der Konvergenzradius von

f̃_{−}(ζ) := ∑_{n=1}^{∞} c_{−n} ζ^{n}

sowie r = \frac{1}{s}. Ist r < R, so ist

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

für alle z mit r < |z − z_{0}| < R absolut konvergent. Insbesondere ist dann f eine holomorphe Funktion auf dem Kreisring {z | r < |z − z_{0}| < R}.

6.10 Satz (Cauchy-Formel für Laurentreihen): Ist

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

in dem Kreisring {z | r < |z − z_{0}| < R} konvergent, so gilt (für jedes ϱ mit r < ϱ < R)

c_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=ϱ} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} .

6.11 Korollar: Unter den Voraussetzungen des Satzes ist

|c_{n}| ≤ ϱ^{−n} · M(f; z_{0}, ϱ) .

6.12 Satz (Laurentreihen-Entwicklungssatz): Die Funktion f sei auf dem Kreisring U := {z | r < |z − z_{0}| < R} holomorph. Sei r < ϱ < R. Dann ist für z ∈ U

f(z) = ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n}

mit

c_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0}|=ϱ} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} ,

wobei die Laurentreihe auf jedem Kreisring U′ := {z | r′ ≤ |z − z_{0}| ≤ R′} mit r < r′ < R′ < R absolut und gleichmäßig konvergiert.

Beweis: Zunächst ist klar, daß c_{n} unabhängig von der Wahl von ϱ ist. Sei z = ue^{iφ} mit r < u < R.

Wir definieren für positive reelle Zahlen ε, ϱ′, ϱ′′ sowie a geschlossene Integrationswege

γ(t) := z + εe^{2πit} für 0 ≤ t ≤ 1

und

δ_{a}(t) := \{ \begin{matrix}z_{0} + ϱ′′e^{(φ+(2t−1)a)i} & , & 0 ≤ t ≤ 1 , \\ z_{0} + ((t − 1)ϱ′ + (2 − t)ϱ′′)e^{(φ+a)i} & , & 1 ≤ t ≤ 2 , \\ z_{0} + ϱ′e^{(φ+(5−2t)a)i} & , & 2 ≤ t ≤ 3 , \\ z_{0} + ((4 − t)ϱ′ + (t − 3)ϱ′′)e^{(φ−a)i} & , & 3 ≤ t ≤ 4 . \end{matrix}

Für

r < ϱ′ < u − ε < u + ε < ϱ′′ < R

verlaufen beide Wege ganz in dem betrachteten Kreisring; ist ε klein im Vergleich zu a und a ≤ π, so liegt γ ganz im Inneren von δ_{a}.

Unter diesen Voraussetzungen haben wir dann

f(z) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} = \frac{1}{2πi} ∫_{δ_{a}} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} ,

wie man leicht mit dem Integralsatz 3.9 für singuläre Rechtecke einsieht. Für a = π ist aber

\frac{1}{2πi} ∫_{δ_{a}} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} = \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0|}=ϱ′′} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} − \frac{1}{2πi} ∫_{|ζ−z_{0|}=ϱ′} \frac{f(ζ) dζ}{ζ − z} .

Nun schreiben wir für |ζ − z_{0|} = ϱ′′

\frac{1}{ζ − z} = \frac{1}{ζ − z_{0}} (1 − \frac{z − z_{0}}{ζ − z_{0}} )^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(z − z_{0})^{n}}{(ζ − z_{0})^{n+1}}

und für |ζ − z_{0}| = ϱ′

\frac{−1}{ζ − z} = \frac{1}{z − z_{0}} (1 − \frac{ζ − z_{0}}{z − z_{0}} )^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(ζ − z_{0})^{n}}{(z − z_{0})^{n+1}} .

Mit gliedweiser Integration folgt die Behauptung. □

Der Satz 6.12 lässt sich insbesondere anwenden auf Funktionen, welche in z_{0} eine isolierte Singularität haben, da diese in einem Kreisring um z_{0} holomorph sind.