Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 1 Abgabe: Montag, 18.04.05

Aufgabe 1: Sei 𝕊^{2} = {(z, ζ) ∈ ℂ × ℝ | |z|^{2} + ζ^{2} = 1} und n := (0, 1) ∈ 𝕊^{2}. Zeigen Sie:

(a) Für p ∈ 𝕊^{2} − {n} ist der Schnittpunkt Φ(p) des Strahls {n + t · (p − n) | t ≥ 0} mit ℂ = ℂ × 0 der Punkt \frac{z}{1 − ζ}.

(b) Φ: 𝕊^{2} − {n} → ℂ ist bijektiv mit Umkehrabbildung

Φ^{−1}(w) = (\frac{2w}{|w|^{2} + 1}, \frac{|w|^{2} − 1}{|w|^{2} + 1}) .

(c) ∥Φ^{−1}(w_{1}) − Φ^{−1}(w_{2})∥ = \frac{2|w_{2} − w_{1}|}{\sqrt{|w_{1}|^{2} + 1}\sqrt{|w_{2}|^{2} + 1}},

∥Φ^{−1}(w_{1}) − n∥ = \frac{2}{\sqrt{|w_{1}|^{2} + 1}}.

Aufgabe 2: Bezeichnungen wie in Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Seien α, δ ∈ ℝ, γ ∈ ℂ mit |γ|^{2} − αδ > 0. Dann ist \{z ∈ ℂ | αz\overline{z} + γz + \overline{γ} \overline{z} + δ = 0\} ein Kreis oder eine affine Gerade. Jeder Kreis und jede affine Gerade läßt sich so erhalten.

(b) Ist K ⊂ 𝕊^{2} ein Kreis, so ist Φ(K −{n}) ⊂ ℂ ein Kreis oder eine affine Gerade. Jeder Kreis und jede affine Gerade läßt sich so erhalten.

Aufgabe 3: Sei (z_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen, a ∈ \overline{ℂ} und bezeichne χ den chordalen Abstand. Zeigen Sie:

lim_{n→∞} z_{n} = a ⇔ lim_{n→∞} χ(z_{n}, a) = 0 .

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Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 2 Abgabe: Montag, 25.04.05 Aufgabe 1: Sei M eine Möbiustransformation und seien z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3} ∈ ℂ paarweise verschiedene Punkte. Sei z′_{j} = M(z_{j}). Zeigen Sie:

DV(z′_{0}, z′_{1}, z′_{2}, z′_{3}) = DV(z_{0}, z_{1}, z_{2}, z_{3})

Aufgabe 2: Für F ∈ Hom_{ℝ}(ℂ, ℂ) sei T (F)(z) = \frac{1}{i}F (iz). Zeigen Sie:

(a) F ist komplex linear ⇔ T (F) = F.

(b) T (F) = −F ⇔ es gibt ein λ ∈ ℂ mit F (z) = λ\overline{z}. (F heißt dann ℂ-antilinear.)

(c) T (T (F)) = F.

(d) Jedes F ∈ Hom_{ℝ}(ℂ, ℂ) läßt sich zerlegen in F = F_{+} + F_{−} mit F_{+} ℂ-linear und F_{−} ℂ-antilinear.

Aufgabe 3: In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen komplex differenzierbar? (z = x + iy)

(a) f(z) = x^{3}y^{2} + ix^{2}y^{3}

(b) f(z) = x^{2} cos(y) + iy

(c) f(z) = z|x|^{3}

(d) f(z) = |z|^{2}(|z|^{2} − 2)

(e) f(z) = − sin(x)(e^{−y} + e^{y}) + i cos(x)(e^{−y} − e^{y})

(f) f(z) = cos(x)(e^{−y} + e^{y}) + i sin(x)(e^{−y} − e^{y})

Aufgabe 4: Sei U ⊂ ℂ offen und φ: U → ℝ zweimal stetig partiell differenzierbar. Dann heißt φ harmonisch, falls \frac{∂^{2}φ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}φ}{∂y^{2}} = 0 gilt.

(a) Sei f: ℂ → ℂ zweimal stetig partiell differenzierbar. Zeigen Sie: Ist f holomorph, so sind Re(f) und Im(f) harmonisch.

(b) Finden Sie alle Polynome p: ℝ^{2} → ℝ der Gestalt p(x, y) = ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} (a, b, c, d ∈ ℝ), so daß p eine harmonische Funktion ist.

(c) Sei p ein Polynom wie in b). Finden Sie – wenn möglich – eine holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ mit p = Re(f).

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 3 Abgabe: Montag, 2.5.05

Aufgabe 1: Sei U ⊂ ℂ offen und F: U → ℂ komplex differenzierbar, u = Re(F), v =

Im(F). Zeigen Sie: Re(F′(z)) = \frac{∂u}{∂x} und Im(F′(z)) = \frac{∂v}{∂x}.

Aufgabe 2: Sei U ⊂ ℂ ein Gebiet und f: U → ℂ holomorph. Zeigen Sie:

(a) f hat nur reelle Werte ⇒ f ist konstant.

(b) |f| ist konstant ⇒ f ist konstant.

Aufgabe 3: Seien ω: [a, b] → U und η: [c, d] → U Integrationswege mit ω(b) = η(c). Sei ω ∗ η: [a, b + d − c] → U der Weg mit

ω ∗ η(t) = \begin{cases}ω(t) & für a ≤ t ≤ b, \\ η(t − b + c) & für b ≤ t ≤ b + d − c, \end{cases}

sowie ω^{−1} : [a, b] → ℂ der zu ω engegengesetzte Weg mit ω^{−1}(t) = ω(a + b − t). Zeigen Sie:

(a) ∫_{ω∗η} f(z)dz = ∫_{ω} f(z)dz + ∫_{η} f(z)dz;

(b) ∫_{ω^{−1}} f(z)dz = − ∫_{ω} f(z)dz.

Aufgabe 4: (a) Sei R das Rechteck mit Ecken 0, 1, 1 + i, i. Berechnen Sie ∫_{∂R} Re(z)dz.

(b) Sei ω(t) = a cos(t) + i b sin(t) für 0 ≤ t ≤ 2π. Berechnen Sie ∫_{ω} |z|^{2}dz.

Aufgabe 5: Sei p(z) = n ; ∑_{k=0}a_{k}z^{k} ein komplexes Polynom, a ∈ ℂ und r > 0 eine reelle

Zahl. Zeigen Sie:

∫_{|z−a|=r} p(\overline{z})dz = 2πi r^{2}p′(\overline{a}) .

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 4 Abgabe: Montag, 9.5.05

Aufgabe 1: Sei U ⊂ ℂ ein Gebiet und f: U → ℂ stetig. Für jedes Dreieck Δ ⊂ U gelte

∫_{∂Δ} f(z)dz = 0. Zeigen Sie: f ist holomorph.

[Hinweis: Es genügt, sich zu überlegen, daß f auf jeder offenen Kreisscheibe in U eine Stammfunktion hat.]

Aufgabe 2: Sei r > 0 und U = {z | |z − z_{0}| < r}. Sei f: U → ℂ stetig und auf U − {z_{0}} holomorph. Zeigen Sie: f ist holomorph auf U. [Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 1.]

Aufgabe 3: Sei U = {z | |z| < 1} und U_{+} = {z ∈ U | Im(z) ≥ 0}. Sei f: U_{+} → ℂ stetig, so daß f auf U_{+} − ℝ holomorph ist und auf U_{+} ∩ ℝ nur reelle Werte annimmt. Definiere g: U → ℂ durch

g(z) = \begin{cases}f(z) & für z ∈ U_{+}, \\ \overline{f(\overline{z})} & für z ∈ U − U_{+}. \end{cases}

Zeigen Sie: g ist holomorph. [Hinweis: Benutzen Sie Aufgabe 1.]

Aufgabe 4: Sei U ⊂ ℂ offen und f: U → ℂ holomorph. Sei \overline{D_{r}(z_{0})} ⊂ U, z ∈ D_{r}(z_{0}), δ > 0 und |z − z_{0}| ≤ r − δ. Zeigen Sie:

|f^{(n)}(z)| ≤ \frac{r · n!}{δ^{n+1}} · M(f; z_{0}, r)

(wobei M(f; z_{0}, r) = sup{f(ζ) | |ζ − z_{0}| = r}.)

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 5 Abgabe: Montag, 23.5.05

Aufgabe 1: Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.

(a) ∫_{|z+1|=1} \frac{dz}{(z + 1)(z − 1)^{3}}

(b) ∫_{|z+2i|=3} \frac{dz}{z^{2} + π^{2}}

(c) ∫_{|z|=r} \frac{dz}{(z − a)^{n}(z − b)^{m}} für |a| < r < |b| und n, m ≥ 1.

Aufgabe 2: Sei f eine ganze Funktion, die auf ℝ nur reelle Werte annimmt. Zeigen Sie: es gilt f(\overline{z}) = \overline{f(z)}.

Aufgabe 3: Sei z_{0} ∈ ℂ mit 0 < |z_{0}| < 1. Sei U = \{z ∈ ℂ | z\overline{z}_{0} ≠ 1\} und V = \{z ∈ ℂ | z\overline{z}_{0} ≠ −1\}. Sei f(z) = \frac{z − z_{0}}{1 − \overline{z}_{0}z} für z ∈ U. Zeigen Sie:

(a) f bildet U biholomorph auf V ab.

(b) f bildet K = {z | |z| ≤ 1} bijektiv auf sich ab. [Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß f die Kreislinie {z | |z| = 1} bijektiv auf sich abbildet.]

Aufgabe 4: Sei f eine ganze Funktion. Es gebe Konstanten r und M, so daß |f(z)| < M · |z|^{n} ist für |z| > r. Zeigen Sie: f ist ein Polynom von Grad ≤ n.

Aufgabe 5: Sei U ein beschränktes Gebiet, f holomorph auf U und stetig auf \overline{U} = U∪∂U. Zeigen Sie: es existiert ein z_{0} ∈ ∂U mit |f(z_{0})| = sup{|f(z)| | z ∈ U}.

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Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 6 Abgabe: Montag, 30.5.05 Aufgabe 1: Finden Sie in einer Umgebung von 0 holomorphe Funktionen, die die folgenden Bedingungen erfüllen, oder beweisen Sie ihre Nichtexistenz.

(a) f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2n}, n ∈ ℕ_{+};

(b) f(\frac{1}{2n}) = \frac{1}{n}, f(\frac{1}{2n+1}) = 0, n ∈ ℕ_{+};

(c) f(\frac{1}{n}) = (−1)^{n} \frac{1}{n}, n ∈ ℕ_{+}.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Laurentreihen-Entwicklung von f(z) = \frac{1}{z(z − 1)(z − 2)} im Kreisring {z | r < |z| < R} für

(a) r = 0, R = 1;

(b) r = 1, R = 2;

(c) r = 2, R = ∞.

Aufgabe 3: Klassifizieren Sie die Singularität 0 ∈ ℂ für die folgenden Funktionen und bestimmen Sie gegebenenfalls den Hauptteil.

(a) \frac{1}{1 − e^{z}}  (b) e^{\frac{1}{z}}
(c) cos(\frac{1}{z})  (d) \frac{sin(z)}{z}

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 7 Abgabe: Montag, 6.6.05

Aufgabe 1: Seien m, n ∈ ℤ und r ≠ 1 eine positive reelle Zahl. Sei γ(t) = e^{2πimt}+re^{2πint}, 0 ≤ t ≤ 1. Bestimmen Sie

(a) I(γ; 0),

(b) I(γ; r + 2).

Aufgabe 2: Sei U ∈ ℂ offen. Sei (f_{n}) eine Folge holomorpher Funktionen auf U, die gleichmäßig gegen die Funktion f: U → ℂ konvergiert. Zeigen Sie:

(a) f ist holomorph.

(b) Sei ω ein stetiger geschlossener Weg in U. Dann ist

∫_{ω} f(z)dz = lim_{n→∞} ∫_{ω} f_{n}(z)dz .

Aufgabe 3: Sei γ eine stetige geschlossene Kurve. Man sagt, z ∈ ℂ − Spur(γ) liege im Äußeren von γ, wenn es eine stetige Abbildung φ: ℝ → ℂ − Spur(γ) gibt mit φ(0) = z und lim_{t→∞} φ(t) = ∞. Zeigen Sie: Liegt z im Äußeren von γ, so ist I(γ; z) = 0.

Aufgabe 4: Seien m, v ∈ ℂ − {0} und γ: [−1, 1] → ℂ der Weg γ(t) = m + tv. Sei D = {z | |z − m| < |v|} und η ein stetiger Weg in ℂ − D mit Anfangspunkt γ(1) und Endpunkt γ(−1). Sei ω der geschlossene Weg ω = γ ∗ η. Für ε ∈ ℝ mit 0 < ε < 1 sei p_{+} = m + iεv und p_{−} = m − iεv. Beweisen Sie die ”Vorfahrtsregel“ (Skizze!)

I(ω; p_{+}) − I(ω; p_{−}) = 1 .

[Hinweis: Nehmen Sie zunächst η stückweise stetig differenzierbar an und betrachten Sie den Limes ε → 0.]

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 8 Abgabe: Montag, 13.6.05

Aufgabe 1: Sei γ der hier aufgezeichnete geschlossene Kantenweg. Bestimmen Sie für jeden Punkt im Komplement der Spur von γ die Umlaufszahl. (Genau an den mit • markierten Punkten biegt die Kurve ab; keine Kante wird zweimal durchlaufen.)

• • • • • • • • • • • • • • ↑

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Singularitäten und die zugehörigen Residuen für die Funktionen

(a) f(z) = \frac{z^{2}}{z^{4} + 6z^{2} + 13},

(b) f(z) = \frac{cot(z)}{z^{2} + a^{2}} , a > 0.

Aufgabe 3: Sei f: {z | |z| > C} → ℂ holomorph. Definieren Sie das Residuum an der Stelle ∞ durch Res_{∞}(f) := − Res_{0}(f̃), wobei f̃(z) = z^{−2}f(z^{−1}) ist. Zeigen Sie:

(a) Für R > C gilt ∫_{|ζ|=R}f(ζ)dζ = −2πi Res_{∞}(f).

(b) Die Funktion f: ℂ − {0} → ℂ mit f(z) = z^{−1} hat in ∞ eine hebbare Singularität, aber es ist Res_{∞}(f) = −1.

Aufgabe 4: Berechnen Sie die Integrale

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 6x^{2} + 13}dx,

(b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{4} + 1},

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})}, a, b > 0.

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 9 Abgabe: Montag, 20.6.05

Aufgabe 1: Sei 0 < r < 2π und f: D_{r}(0) − \{0\} → ℂ definiert durch f(z) = \frac{sin(z)}{cos(z^{3}) − 1}.

Bestimmen Sie die Ordnung des Pols bei 0 sowie Res_{0}(f).

Aufgabe 2: Sei f: D_{ε}(a) − {a} → ℂ holomorph. Zeigen Sie: Res_{a}(f) ist die eindeutig bestimmte komplexe Zahl c, für die die Funktion g(z) = f(z) − \frac{c}{z − a} in D_{ε}(a) eine Stammfunktion hat.

Aufgabe 3: (a) Sei R eine komplexwertige rationale Funktion in zwei Variablen, die keine Singularität auf dem Einheitskreis hat, und f die durch

f(z) = z^{−1}R(\frac{1}{2}(z + z^{−1}), \frac{1}{2i}(z − z^{−1}))

definierte meromorphe Funktion. Zeigen Sie:

∫_{0}^{2π} R(cos(t), sin(t))dt = 2π ∑_{z∈D_{1}(0)} Res_{z}(f) .

(b) Berechnen Sie die Integrale

(b1) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{sin(t) − 2 cos(t) + 3}

(b2) ∫_{0}^{2π} \frac{cos(3t)}{5 − 4 cos(t)}dt

(b3) ∫_{0}^{π} \frac{dt}{(a + b cos(t))^{2}} , a > b > 0

Aufgabe 4: Sei y > 0 eine reelle Zahl. Zeigen Sie:

∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}−2ixy}dx = \sqrt{π} e^{−y^{2}}

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 10 Abgabe: Montag, 27.6.05

Aufgabe 1: Seien c, s ∈ ℝ und c > 0. Berechnen Sie ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{isx}}{x − ic}dx.

[Hinweis: Unterscheiden Sie die Fälle s > 0, s = 0, s < 0 und integrieren Sie (für s ≠ 0) über einen geeigneten Halbkreis.]

Aufgabe 2: (a) Sei f: ℂ → \overline{ℂ} meromorph mit einer Nullstelle bei ∞. Weiterhin habe f auf ℝ genau eine Polstelle t_{0}, welche von erster Ordnung ist. Zeigen Sie, daß für den Cauchyschen Hauptwert gilt:

H-∫_{∞}^{∞} f(t)e^{it}dt = πi Res_{t_{0}}(f(z)e^{iz}) + 2πi ∑_{Im(s)>0} Res_{s}(f(z)e^{iz})

(b) Berechnen Sie H-∫_{−∞}^{∞} \frac{cos(x)}{x}dx und ∫_{0}^{∞} \frac{sin(x)}{x}dx.

Aufgabe 3: (a) Sei a ∈ ℂ, α ∈ ℝ und D := {z = a + re^{iφ} | r > 0, α < φ < α + π}.

Zeigen Sie: Sind a_{1}, …, a_{n} ∈ D, so ist ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{a − a_{j}} ≠ 0 .

(b) Sei f(z) = c(z − a_{1}) ⋯ (z − a_{n}) mit a_{1}, …, a_{n} ∈ ℂ. Sei b ∈ ℂ so gewählt, daß der Kreis K = {z | |z − b| ≤ r} alle a_{j} enthält. Zeigen Sie: Ist a Nullstelle von f′(z), so ist a ∈ K.

[Hinweis: Benutzen Sie (a) um zu zeigen, daß für a ∉ K die logarithmische Ableitung \frac{f′(z)}{f(z)} bei z = a nicht verschwindet.]

Aufgabe 4: Sei f(z) = z^{4} + 6z + 3. Wieviele Nullstellen hat f in

(a) D_{1}(0),

(b) D_{2}(0) − D_{1}(0) ?

[Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Rouché, um f mit den Funktionen g(z) = z^{4} und h(z) = 6z + 3 zu vergleichen.]

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 11 Abgabe: Montag, 4.7.05

Aufgabe 1: Für n ≥ 1 sei a_{2n−1} = n^{−1} − n^{−1/2} und a_{2n} = n^{−1/2}. Definiere b_{n} durch

1 + b_{n} = (1 + a_{2n−1})(1 + a_{2n}). Sei p_{m} = ∏_{n=1}^{m}(1 + a_{n}). Zeigen Sie:

(a) ∞ ; ∑_{k=1}a_{k} ist nicht konvergent.

(b) ∏_{n=1}^{∞}(1 + b_{n}) konvergiert absolut.

(c) Sei b der Grenzwert aus (b). Dann gilt lim_{m→∞} p_{m} = b.

(d) lim_{m→∞} ∏_{n=1}^{m}(1 + a_{2n}) = ∞.

Aufgabe 2: Zeigen Sie: Das Produkt ∏_{n=0}^{∞}(1 + z^{2^{n}}) ist genau dann absolut konvergent,

wenn |z| < 1 ist, und dann gilt ∏_{n=0}^{∞}(1 + z^{2^{n}}) = \frac{1}{1 − z}.

Aufgabe 3: Leiten Sie aus der Partialbruchzerlegung für π cot(πz) die folgende Partialbruchzerlegung her:

\frac{π}{sin(πz)} = \frac{1}{z} + ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n} \frac{2z}{z^{2} − n^{2}} .

Aufgabe 4: Sei ζ(z) die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} (wobei n^{z} = e^{z log(n)}).

(a) Zeigen Sie: ζ(z) definiert eine holomorphe Funktion auf {z | Re(z) > 1}.

(b) Die Zahlen B_{2n} seien definiert durch die Gleichung

z · cot(z) = ∑_{n≥0}(−1)^{n} \frac{2^{2n}}{(2n)!}B_{2n}z^{2n} .

Zeigen Sie: ζ(2n) = (−1)^{n+1} \frac{(2π)^{2n}}{2 · (2n)!}B_{2n}.

[Hinweis: Benutzen Sie die Partialbruchzerlegung von cot(z) aus der Vorlesung.]

Übungen Funktionentheorie I Sommersemester 2005

Blatt 12 Abgabe: Montag, 11.7.05

Aufgabe 1: Zeigen Sie, daß für die Weierstraßschen Elementarfaktoren E_{k}(z), k ≥ 1, gilt:

(a) E′_{k}(z) = −z^{k} exp(z + \frac{z^{2}}{2} + ⋯ + \frac{z^{k}}{k} ).

(b) Ist E_{k}(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} die Taylorreihe von E_{k} um den Nullpunkt, so ist a_{0} = 1,

a_{1} = a_{2} = … = a_{k} = 0 und a_{n} ≤ 0 für n > k.

(c) Für |z| < 1 ist |E_{k}(z) − 1| ≤ |z|^{k+1}.

Aufgabe 2: Entwickeln Sie cos(πz) in ein unendliches Produkt. [Hinweis: sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)]

Aufgabe 3: Sei Ψ(z) := \frac{Γ′(z)}{Γ(z)}. Zeigen Sie:

(a) Ψ ist meromorph mit einfachen Polstellen in den Punkten z = −n, n ∈ ℕ, und Res_{−n}(Ψ) = −1.

(b) Ψ(z) = −γ − \frac{1}{z} − ∑_{n=1}^{∞}(\frac{1}{z + n} − \frac{1}{n}), wobei γ = lim_{n→∞}(( n ; ∑_{k=1} \frac{1}{k}) − log(n)) ist.

(c) Ψ(1) + γ = 0.

(d) Ψ(z + 1) − Ψ(z) = \frac{1}{z}.

(e) Ψ(1 − z) − Ψ(z) = π cot(πz).