Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 1 Abgabe: Montag, 7.11.2005 Aufgabe 1: Sei 𝔻 = \overline{𝔼}. Zeigen Sie: (\frac{z − 1}{z + 1})^{2} bildet ℍ − 𝔻 konform äquivalent auf ℍ ab.

Aufgabe 2: Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen harmonisch sind und finden Sie Konjugierte.

(a) x^{2} − y^{2}  (b) sinh(x) sin(y)  (c) tan^{−1}(\frac{y}{x}) .

Aufgabe 3: Sei u: ℂ → ℂ definiert durch

u(z) = \begin{cases}Im(z^{−2}) & z ≠ 0 , \\ 0 & z = 0 . \end{cases}

Zeigen Sie:

(a) Alle partiellen Ableitungen von u nach x bzw. y existieren auf ganz ℂ.

(b) Δu = 0.

(c) u ist nicht harmonisch.

Aufgabe 4: Zeigen Sie:

(a) In Polarkoordinaten hat die Gleichung Δu = 0 die Form

\frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{∂u}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} = 0 .

(b) log |z| ist auf ℂ − {0} harmonisch.

(c) log |z| hat keine auf ℂ − {0} definierte Konjugierte.

(d) u: ℂ_{−} → ℝ mit u(re^{iφ}) := φ log(r) definiert eine harmonische Funktion. Finden Sie eine Konjugierte v und beschreiben Sie die holomorphe Funktion u + i v.

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Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 2 Abgabe: Montag, 14.11.2005

Aufgabe 1: Sei U ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und u : U → ℝ eine harmonische Funktion. Zeigen Sie, daß u eine konjugierte harmonische Funktion besitzt.

Aufgabe 2: Seien U ⊂ U′ ⊂ ℂ einfach zusammenhängende Gebiete und sei p ∈ U.

(a) Es gibt genau ein konforme Äquivalenz f : U → 𝔼 mit den Eigenschaften

f(p) = 0, f′(p) ∈ ℝ und f′(p) > 0 .

Die Zahl ρ(U; p) := f′(p)^{−1} heißt der Abbildungsradius von U im Punkte p.

(b) Es ist ρ(U; p) ≤ ρ(U′; p). Gilt hierin die Gleichheit, so ist U = U′.

Aufgabe 3: Sei 𝔼_{−} = 𝔼 ∩ ℂ_{−}.

(a) Konstruieren Sie ein konforme Äquivalenz f : 𝔼_{−} → 𝔼.

(b) Finden Sie eine Folge von Punkten z_{n} ∈ 𝔼_{−}, die in ℂ konvergiert, während die Folge der f(z_{n}) nicht konvergiert.

Aufgabe 4: Sei U ⊂ ℂ ein Gebiet, so daß zu jeder holomorphen Funktion f : U → ℂ − {0} eine holomorphe Funktion g auf U existiert mit g^{2} = f. Zeigen Sie, daß U einfach zusammenhängend ist.

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Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 3 Abgabe: Montag, 21.11.2005 Aufgabe 1: Sei Γ ⊂ ℂ ein Gitter und R_{Γ} := {λ ∈ ℂ | λΓ ⊂ Γ}. Zeigen Sie:

(a) R_{Γ} ist ein kommutativer Ring.

(b) R_{Γ}^{×} = {λ ∈ ℂ | λΓ = Γ} (wobei ℝ_{Γ}^{×} die Einheiten in R_{Γ} bezeichne).

(c) R_{Γ} ∩ ℝ = ℤ.

(d) Berechnen Sie R_{Γ} für Γ = ℤ · 1 + ℤ · i und Γ = ℤ · 1 + ℤ · e^{2πi/3}.

Aufgabe 2: (a) Seien Γ = ℤ · ω_{1} + ℤ · ω_{2} und Γ′ = ℤ · ω′_{1} + ℤ · ω′_{2} zwei Gitter. Zeigen Sie: es ist Γ = Γ′ genau dann, wenn es eine Matrix ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(ℤ) gibt mit

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) \binom{ω_{1}}{ω_{2}} = \binom{ω′_{1}}{ω′_{2}} .

(b) Sei Γ′′ = ℤ · 1 + ℤ · \frac{ω_{2}}{ω_{1}} . Dann ist Γ = ω_{1} · Γ′′.

Aufgabe 3: (a) Schreiben Sie ℘′′(z) und ℘′′′′(z) als Polynome in ℘(z).

(b) Schreiben Sie ℘(2z) als rationale Funktion in ℘(z).

Aufgabe 4: Für τ ∈ ℍ sei Γ_{τ} = ℤ·1+ℤ·τ und für k > 1 sei G_{2k}(τ) = ∑_{\begin{matrix}m,n∈ℤ \\ (m,n)≠(0,0) \end{matrix}} \frac{1}{(m + nτ)^{2k}}.

Zeigen Sie:

(a) G_{2k}(τ) konvergiert lokal gleichmäßig auf ℍ.

(b) Sei Γ = ℤ · ω_{1} + ℤ · ω_{2} mit Im(\frac{ω_{2}}{ω_{1}} ) > 0. Dann gilt ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{2k}} = ω_{1}^{−2k} · G_{2k}(\frac{ω_{2}}{ω_{1}} ).

(c) G_{2k}(τ + 1) = G_{2k}(τ).

(d) G_{2k}(\frac{aτ+b}{cτ+d}) = (cτ + d)^{2k}G_{2k}(τ) für ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℤ).

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Blatt 4 Abgabe: Montag, 28.11.2005

Aufgabe 1: Geben Sie eine holomorphe Funktion auf 𝔼 an, die sich in keinen Punkt von ℂ − 𝔼 analytisch fortsetzen läßt.

Aufgabe 2: Diskutieren Sie das analytische Gebilde von \sqrt{\sqrt{z} − 1}.

Aufgabe 3: Sei Γ = ℤω_{1} + ℤω_{2} ein Gitter,

g_{2} = 60 · ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{4}} und g_{3} = 140 · ∑_{ω∈Γ−\{0\}} \frac{1}{ω^{6}} .

Sei f(x) = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} für x ∈ ℂ, sei N die Nullstellenmenge von f in ℂ und R das analytische Gebilde von \sqrt{f(x)}. Zeigen Sie:

(a) π(R) = ℂ − N.

(b) Es gibt eine Bijektion zwischen R und ℂ/Γ − {a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}}, wobei die a_{j} die Bilder

von 0, \frac{ω_{1}}{2} , \frac{ω_{2}}{2} bzw. \frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} in ℂ/Γ bezeichnen.

Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 5 Abgabe: Montag, 5.12.2005

Aufgabe 1: Sei Γ′ ⊂ Γ ein Teilgitter vom Index n. Zeigen Sie: die induzierte Abbildung ℂ/Γ′ → ℂ/Γ ist unverzweigt vom Grad n.

Aufgabe 2: Sei Γ ein Gitter mit g_{2} = 0. Bestimmen Sie den Grad und die Verzweigungsordnungen von ℘′: ℂ/Γ → \overline{ℂ}.

Aufgabe 3: Lösen Sie Aufgabe 2 für g_{2} ≠ 0. (Hinweis: es sind mehrere Fälle zu unterscheiden).

Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 6 Abgabe: Montag, 12.12.05

Auf diesem Übungsblatt sei M eine zusammenhängende Riemannsche Fläche und G eine endliche Untergruppe von Aut(M), der Gruppe der biholomorphen Selbstabbildungen von M. Für p ∈ M bezeichne G_{p} := {g ∈ G | gp = g} die Isotropiegruppe von p.

Aufgabe 1: Sei g ≠ 1. Dann ist M^{g} := {p ∈ M | gp = p} eine diskrete Teilmenge von M.

Aufgabe 2: Ist p ∈ M^{g}, g ≠ 1, so existiert eine lokale Karte (z, U, V) um p, so daß f = z ∘ g ∘ z^{−1} eine Drehung ist.

Aufgabe 3: M/G hat in kanonischer Weise die Struktur einer Riemannschen Fläche, so daß die Projektion π: M → M/G holomorph ist.

Aufgabe 4: Der Grad von π ist die Ordnung von G.

Aufgabe 5: Ist M kompakt, so gilt für die totale Verzweigungsordnung von π:

o_{π} = ∑_{p∈M}(|G_{p}| − 1) .

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Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 7 Abgabe: Montag, 19.12.05 Aufgabe 1: Sei 𝒢 eine Garbe über M mit Projektion π.

(a) Für N ⊂ M sei 𝒢 |_{N} = π^{−1}(N). Zeigen Sie: 𝒢 |_{N} ist eine Garbe über N.

(b) Sei f: N → M stetig und

f^{∗}𝒢 = {(x, g) ∈ N × 𝒢 | f(x) = π(g)} .

Zeigen Sie: f^{∗}𝒢 ist eine Garbe über N.

(c) Ist N ⊂ M und i: N → M die Inklusion, so gilt 𝒢 |_{N} ≅ i^{∗}𝒢.

Aufgabe 2: Sei 𝒢 eine Garbe über M mit Projektion π.

(a) Sei f: M → N stetig. Zeigen Sie:

U ⟼ Γ(f^{−1}(U); 𝒢) ist eine vollständige Prägarbe über N. Die assoziierte Garbe wird mit f(𝒢) bezeichnet und heißt das direkte Bild von 𝒢 unter f.

(b) Sei N ⊂ M und ℋ eine Garbe über N. Zeigen Sie (iℋ )|_{N} ≅ ℋ .

Aufgabe 3: Sei A ⊂ X lokal abgeschlossen (d.h. jeder Punkt p ∈ A hat eine Umgebung U in X, so daß U ∩ A abgeschlossen in U ist) und π: ℋ → A eine Garbe auf A. Sei 𝒢 = ℋ ∪ (X − A) × {0}. Definiere eine Topologie auf 𝒢 wie folgt:

(i) Zu y = (p, x) ∈ ℋ existiert eine offene Umgebung V ⊂ A und ein Schnitt s ∈ Γ(V, ℋ ) mit s(p) = y, sowie U ⊂ X mit U ∩ A ⊂ V und U ∩ A ⊂ A abgeschlossen. Die Mengen der Form s(U ∩ A) ∪ (U − A) × {0} seien eine Umgebungsbasis von y.

(ii) Für y = (p, 0) ∈ (X − A) × {0} bestehe eine Umgebungsbasis aus Mengen der Form

U × {0}, wobei U Umgebung von p in X sei. Sei π̃: 𝒢 → X die offensichtliche Projektion. Zeigen Sie:

(a) 𝒢 ist eine Garbe über X.

(b) 𝒢 ist die einzige Garbe, für die 𝒢 |_{A} = ℋ und 𝒢 |_{X−A} = (X − A) × {0} gilt.

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Blatt 8 Abgabe: Montag, 9.1.2006

Aufgabe 1: Zeigen Sie: eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

0 ⟶ (C^{∗}, d) ⟶ (D^{∗}, d) ⟶ (E^{∗}, d) ⟶ 0

induziert eine lange exakte Sequenz in Kohomologie.

Aufgabe 2: Sei I eine gerichtete Indexmenge und C^{∗} ein Funktor von I in die Kategorie der Kokettenkomplexe. Zeigen Sie: es gibt kanonische Isomorphismen

H^{q}(colim_{i∈I} C^{∗}(i)) ≅ colim_{i∈I} H^{q}(C^{∗}(i)) .

Aufgabe 3: Sei

0 ⟶ C^{∗} ⟶ D^{∗}(0) ⟶ D^{∗}(1) ⟶ ⋯ ⟶ D^{∗}(n) ⟶ ⋯

eine exakte Sequenz von Kokettenkomplexen. Sei H^{q}(D^{∗}(n)) = 0 für q > 0. Zeigen Sie:

(a) Sei K^{n} = H^{0}(D^{∗}(n)). Dann ist

0 ⟶ K^{0} ⟶ K^{1} ⟶ ⋯ ⟶ K^{n} ⟶ ⋯

ein Kokettenkomplex K^{∗}.

(b) H^{q}(C^{∗}) ≅ H^{q}(K^{∗}) für jedes q.

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Blatt 9 Abgabe: Montag, 16.1.2006

Aufgabe 1: Sei M eine Mannigfaltigkeit, A ⊂ M abgeschlossen und ℱ eine Garbe auf M. Sei 𝒢 die Garbe mit

𝒢_{x} = \begin{cases}ℱ_{x} & für x ∈ A, \\ 0 & sonst; \end{cases}

vgl. Blatt 7, Aufgabe 3. Zeigen Sie: Der Homomorphismus ℱ → 𝒢 induziert einen Isomorphismus

H^{∗}(M; 𝒢) ≅ H^{∗}(A; ℱ |_{A}) .

[Hinweis: Ist U eine offene Überdeckung von A, so gibt es eine offene Überdeckung von M, deren Schnitt mit A gerade U ist.]

Aufgabe 2: Sei M eine Mannigfaltigkeit, A_{1}, A_{2} abgeschlossene Teilmengen mit M = A_{1} ∪ A_{2} und ℱ eine Garbe auf M.

(a) Definiere Garben ℱ_{i}, i = 0, 1, 2, auf M durch

(ℱ_{0})_{x} = \begin{cases}ℱ_{x} & für x ∈ A_{1} ∩ A_{2}, \\ 0 & sonst; \end{cases}

(ℱ_{1})_{x} = \begin{cases}ℱ_{x} & für x ∈ A_{1}, \\ 0 & sonst; \end{cases}

(ℱ_{2})_{x} = \begin{cases}ℱ_{x} & für x ∈ A_{2}, \\ 0 & sonst. \end{cases}

Zeigen Sie: es gibt Homomorphismen von Garben und eine kurze exakte Sequenz von Garben

0 ⟶ ℱ ⟶ ℱ_{1} ⊕ ℱ_{2} ⟶ ℱ_{0} ⟶ 0 .

(b) Folgern Sie: es gibt eine lange exakte Sequenz

⋯ → H^{q}(M; ℱ) → H^{q}(A_{1}; ℱ |_{A_{1}}) ⊕ H^{q}(A_{2}; ℱ |_{A_{2}}) → H^{q}(A_{1} ∩ A_{2}; ℱ |_{A_{1}∩A_{2}}) → ⋯ Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Funktionentheorie II Wintersemester 2005/2006

Blatt 10 Abgabe: Montag, 30.1.2006 Aufgabe 1: Sei M eine Riemannsche Fläche. Sei S eine diskrete Teilmenge von M und W_{S} die durch

(W_{S})_{x} = \begin{cases}ℂ & für x ∈ S, \\ 0 & für x ∉ S \end{cases}

definierte Wolkenkratzergarbe mit Träger S. Zeigen Sie:

(a) W_{S} ist eine feine Garbe.

(b) Ist S endlich, so hat H^{0}(M; W_{S}) die Dimension ♯S.

Aufgabe 2: Sei M eine Riemannsche Fläche, K ⊂ M abgeschlossen und F eine Garbe auf M. Zeigen Sie: für jedes q > 0 gilt

H^{q}(K; F|_{K}) ≅ colim_{U} H^{q}(U; F|_{U})

wobei U die offenen Umgebungen von K in M durchläuft.

Aufgabe 3: Seien M, M_{1}, M_{2} kompakte (glatte) Flächen, eventuell mit Rand.

χ(M) := ∑_{i=0}^{2}(−1)^{i} dim_{ℂ} H^{i}(M; ℂ)

heißt die Eulercharakteristik von M. Zeigen Sie:

(a) χ(M_{1} ∪ M_{2}) + χ(M_{1} ∩ M_{2}) = χ(M_{1}) + χ(M_{2}).

(b) Ist M ⊂ ℂ einfach zusammenhängend, so gilt χ(M) = 1.

(c) χ(S^{1} × I) = 0.

(d) Seien e_{j}, 1 ≤ j ≤ r, offene Kreisscheiben mit \overline{e}_{i} ∩ \overline{e}_{j} = ∅ für i ≠ j. Dann gilt χ(S^{2} − ⋃_{i=1}^{r} e_{i}) = 2 − r .

(e) Für die orientierbare Fläche F_{g} vom Geschlecht g gilt χ(F_{g}) = 2 − 2g.