Vorlesung Analysis I — WS 07/08 Kapitel 4

Erich Ossa

Vorläufige Version 08/01/20

— Ausdruck 21. Januar 2008 —

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 1

1.1 Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.A Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.B Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.A Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.B Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.C Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.A Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.B Zahlen zum Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.C Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.A Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.B Ordnungs-Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.C Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.D Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.E Die Mächtigkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.A Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.B Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 * Rekursive Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Folgen und Reihen 38

2.1 Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.A Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.B Monotone Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.C Häufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.A Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.B Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.C Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Stetige Funktionen 49

3.1 Häufungspunkte und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.A Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.B Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.A Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.B Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.A Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.B Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.C Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.D Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Differentialrechnung 58

4.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.A Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.B Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.A Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3.B Die Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.C Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.D Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Dieses Skript ist noch nicht in seiner endgültigen Gestalt. Für Fehlermeldungen, Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge wäre ich dankbar.

E. Ossa

4 Differentialrechnung

4.1 Die Ableitung

4.1.A Definitionen

Im folgenden betrachten wir der Einfachheit halber nur reelle Funktionen f : I → R, die auf einem Intervall I von positiver Länge definiert sind.

Definition 4.1.1: f : I → R heißt differenzierbar im Punkte x_{∗} ∈ I, wenn der folgende Grenzwert existiert:

f′(x_{∗}) := lim_{x→x_{∗}} \frac{f(x) − f(x_{∗})}{x − x_{∗}} .

Dieser Grenzwert wird dann als die Ableitung von f im Punkte x_{∗} bezeichnet.

Bemerkung: Oft schreibt man Δf := f(x) − f(x_{∗}) und Δx := x − x_{∗}. Den Grenzwert der

Differenzenquotienten \frac{Δf}{Δx} bezeichnet man dann als den Differentialquotienten \frac{df}{dx}(x_{∗}) = f′(x_{∗}). Eine andere übliche Bezeichnung ist Df(x_{∗}) = f′(x_{∗}). Man schreibt auch oft

f′(x_{∗}) := lim_{h→0} \frac{f(x_{∗} + h) − f(x_{∗})}{h}.

Mit Koordinaten ξ, η beschreibt die Gleichung η = f(x_{∗}) + \frac{Δf}{Δx} (ξ − x_{∗}) die Sekante des Graphen von f durch die Punkte (x_{∗}, f(x_{∗})) und (x, f(x)). Im Grenzwert Δx → 0 erhalten wir η = f(x_{∗}) + f′(x_{∗})(ξ − x_{∗}) als Gleichung der Tangente im Punkte (x_{∗}, f(x_{∗})). Eine weitere Notation ist ẏ(t) := y′(t), wobei die Variable t als Zeit interpretiert wird. Für eine Kurve (x(t), y(t)) ist v^{→}(t) := (ẋ(t), ẏ(t)) der Geschwindigkeitsvektor.

Definition 4.1.2: f : I → R heißt differenzierbar auf I, wenn f in jedem Punkt x_{∗} ∈ I differenzierbar ist. In diesem Fall bezeichnet man die Funktion f′ : I → R mit x ↦ f′(x) als die Ableitung von f.

V18-19.12.

Satz 4.1.3: Sei f : I → R und x_{∗} ∈ I. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. f ist differenzierbar in x_{∗},

2. Es existiert eine lineare Funktion L(x) = mx + b, so daß gilt

f(x) = L(x) + (x − x_{∗})r(x)

mit lim_{x→x_{∗}} r(x) = 0,

3. Es ist

f(x) = f(x_{∗}) + (x − x_{∗})φ(x) ,

für eine Funktion φ(x), welche stetig in x_{∗} ist.

In der dritten Beschreibung ist dann φ(x_{∗}) = f′(x_{∗}).

Satz 4.1.4: Sei f differenzierbar in x_{∗}. Dann gibt es ein δ > 0 und eine Konstante K > 0, so daß gilt

|x − x_{∗}| < δ ⇒ |f(x) − f(x_{∗})| < K|x − x_{∗}| .

Insbesondere ist f stetig im Punkt x_{∗}.

4.1.B Ableitungsregeln

Satz 4.1.5: Es gelten die folgenden Ableitungsregeln:

1. Ist f(x) = cx^{n} (für c ∈ R und n ∈ N), so ist f′(x) = ncx^{n−1}.

2. sin′(x) = cos(x) und cos′(x) = − sin(x).

3. exp′(x) = exp(x).

4. sinh′(x) = cosh(x) und cosh′(x) = sinh(x).

Satz 4.1.6: Seien f, g : I → R in x_{∗} ∈ I differenzierbar. Dann gilt:

1. Summenregel: f + g ist in x_{∗} differenzierbar mit

(f + g)′(x_{∗}) = f′(x_{∗}) + g′(x_{∗}) .

2. Produktregel: f · g ist in x_{∗} differenzierbar mit

(f · g)′(x_{∗}) = f′(x_{∗}) · g(x_{∗}) + f(x_{∗}) · g′(x_{∗}) .

3. Quotientenregel: Ist g(x_{∗}) ≠ 0, so ist \frac{f}{g} für x ∈ I mit |x − x_{∗}| < δ definiert und

differenzierbar in x_{∗} mit

(\frac{f}{g} )′ (x_{∗}) = \frac{f′(x_{∗})g(x_{∗}) − f(x_{∗})g′(x_{∗})}{g(x_{∗})^{2}} .

Satz 4.1.7 (Kettenregel): Seien f : I → R, g : J → R mit f(I) ⊂ J. Sei f differenzierbar in x_{∗} und g differenzierbar in y_{∗} := f(x_{∗}). Dann ist g ∘ f differenzierbar in x_{∗} mit

(g ∘ f)′(x_{∗}) = g′(y_{∗})f′(x_{∗}) .

Bemerkung: Merkregel: Man schreibt y = f(x) und kürzt in

\frac{dg}{dy} \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx}

vermöge dy = df.

Satz 4.1.8:

1. Rationale Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar.

2. tan′(x) = cos^{−2}(x).

3. tanh′(x) = cosh^{−2}(x).

V19-21.12.

Satz 4.1.9 (Ableitung der Umkehrfunktion): Sei f : I → R streng monoton. Sei J := f(I). Sei f in x_{∗} differenzierbar mit f′(x_{∗}) ≠ 0. Dann ist die Umkehrfunktion g := f^{−1} : J→I in y_{∗} = f(x_{∗}) differenzierbar und es gilt

g′(y_{∗}) = \frac{1}{f′(x_{∗})} .

Beweis: Aus der strengen Monotonie und der Differenzierbarkeit folgt, daß y_{∗} ein Häufungspunkt von J ist und daß g im Punkt y_{∗} stetig ist. □

Satz 4.1.10:

1. log : R_{+} → R ist differenzierbar mit

log′(y) = \frac{1}{y} .

2. Sei r ∈ R und f(y) := y^{r} für y ∈ R_{+}. Dann ist f differenzierbar und f′(y) = ry^{r−1}.

Beweis: Die erste Behauptung folgt sofort aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Für die zweite verwende man y^{r} = exp(r log(y)). □

4.2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Definition 4.2.1: Sei f : I → R und x_{∗} ∈ I.

1. f hat in x_{∗} ein lokales Maximum, wenn es ein δ > 0 gibt, so daß für x ∈ I gilt:

|x − x_{∗}| < δ ⇒ f(x) ≤ f(x_{∗}) .

2. f hat in x_{∗} ein lokales Minimum, wenn es ein δ > 0 gibt, so daß für x ∈ I gilt:

|x − x_{∗}| < δ ⇒ f(x) ≥ f(x_{∗}) .

3. f hat in x_{∗} ein lokales Extremum, wenn f in x_{∗} ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat.

Satz 4.2.2: f :]a, b[→ R habe in x_{∗} ∈]a, b[ ein lokales Extremum. Ist f in x_{∗} differenzierbar, so gilt

f′(x_{∗}) = 0 .

Beispiel: Brechungsgesetz von Snellius (s. Königsberger).

Satz 4.2.3 (Satz von Rolle): Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf ]a, b[. Sei f(a) = f(b). Dann gibt es ein x_{∗} ∈]a, b[ mit

f′(x_{∗}) = 0 .

Satz 4.2.4 (Mittelwertsatz): Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf ]a, b[. Dann gibt es ein x_{∗} ∈]a, b[ mit

\frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(x_{∗}) .

Korollar 4.2.5: Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf ]a, b[.

1. Ist f′(x) > 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f streng monoton wachsend.

2. Ist f′(x) ≥ 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f monoton wachsend.

3. Ist f′(x) = 0 für alle x ∈]a, b[, so ist f konstant.

Beispiel: f : [−1, 1] → R mit f(x) = x^{3} ist streng monoton wachsend.

Satz 4.2.6 (Verallgemeinerter MWS): Seien f, g : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf ]a, b[. Sei g′(x) ≠ 0 für alle x ∈]a, b[. Dann ist g(b) ≠ g(a) und es gibt ein x_{∗} ∈]a, b[ mit

\frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(x_{∗})}{g′(x_{∗})} .

Satz 4.2.7 (Regel von de l’Hospital): Seien f, g :]a, b[→ R differenzierbar. Sei g′(x) ≠ 0 für alle x ∈]a, b[. Ferner sei eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt:

1. lim_{x↘a} f(x) = 0 und lim_{x↘a} g(x) = 0,

2. lim_{x↘a} f(x) = ∞ und lim_{x↘a} g(x) = ∞.

Dann ist g(x) ≠ 0 für x in einer geeigneten Umgebung von a, und

lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)} .

sobald der rechts stehende Grenzwert existiert.

Beispiele (für x ↘ 0):

1. \frac{sin(x)}{x}

2. x log(x)

3. \frac{1}{x sin(x)} − \frac{1}{x^{2}}

Beweis: (von Satz (4.2.7)) Fall 1. folgt (mit f(a) := 0 =: g(a)) sofort aus dem verallgemeinerten MWS. Unter Voraussetzung 2. schließen wir wie folgt: Zunächst gibt es ein δ_{1} > 0, so daß f(x) ≠

0 ≠ g(x) ist für a < x < a + δ_{1}. Sei A := lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}. Zu ε > 0 gibt es dann ein δ_{2} mit

0 < δ_{2} < δ_{1} und

|\frac{f′(t)}{g′(t)} − A| < ε für a < t < a + δ_{2} .

Wir können schreiben

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y) − f(x)}{g(y) − g(x)} · \frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} ,

wobei a < x < y < δ_{2} sei. Wegen

lim_{x↘a} \frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} = 1

gibt es ein δ_{3} mit 0 < δ_{3} < δ_{2} so daß

|\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| < ε

ist für a < x < a + δ_{3}. Dann ist

\frac{f(x)}{g(x)} − A = (\frac{f(y) − f(x)}{g(y) − g(x)} − A) · \frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}}

+ A · (\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1)

dem Betrag nach < ε(1 + ε) + |A|ε. □

V20-9.1.

4.3 Höhere Ableitungen

In diesem Abschnitt sei wieder I ⊂ R ein Intervall positiver Länge.

4.3.A Definitionen

Definition 4.3.1: Eine differenzierbare Funktion f : I → R heißt (n+1)-mal differenzierbar mit (n + 1)-ter Ableitung f^{(n+1)}, wenn f′ : I → R n-mal differenzierbar ist mit n-ter Ableitung

(f′)^{(n)} = f^{(n+1)} .

f heißt (n+1)-mal stetig differenzierbar, wenn zusätzlich die Abbildung f^{(n+1)} stetig ist. Die Menge der (n + 1)-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf I wird mit C^{(n+1)} bezeichnet.

Bemerkung: Andere Bezeichnungen sind

f^{(n)}(x_{∗}) = \frac{d^{n}f}{dx^{n}} (x_{∗})

oder auch f′′ = f̈, f′′′ = {... \atop f} für die zweite bzw. dritte Ableitung.

Lemma 4.3.2: Seien f und g (n + 1)-mal differenzierbare Funktionen auf I.

1. f + g : I → R ist (n + 1)-mal differenzierbar mit (f + g)^{(n)} = f^{(n)} + g^{(n)}.

2. f · g : I → R ist (n + 1)-mal differenzierbar.

3. Hat g keine Nullstelle auf I, so ist \frac{1}{g} : I → R (n + 1)-mal differenzierbar.

4. Die Komposion von (n + 1)-mal differenzierbaren Funktionen ist (n + 1)-mal differenzierbar.

5. Ist g : I → J bijektiv mit nirgends verschwindender Ableitung, so ist auch die Umkehrfunktion g^{−1} : J → I (n + 1)-mal differenzierbar.

Insbesondere ist C^{(n+1)}(I) ein reeller Vektorraum und die Abbildung f ↦ f^{(n+1)} ist eine lineare Abbildung C^{(n+1)}(I) → C^{(0)}(I).

Lemma 4.3.3:

1. Rationale Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich unendlich oft differenzierbar.

2. Die elementaren Funktionen

exp , sin , cos , sinh , cosh , tanh , arsinh

und

log , tan , arcsin , arccos , arcosh , artanh

sind auf ihrem Definitionsbereich unendlich oft differenzierbar.

Satz 4.3.4: Sei f(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(x − a)^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Sei g(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n+1}(n + 1)(x − a)^{n} die durch Differenzieren der Summanden erhaltene Potenzreihe. Dann hat g(x) ebenfalls den Konvergenzradius R, die Funktion

f : ]a − R, a + R[ → R

ist differenzierbar, und es ist

f′(x) = g(x) .

Beweis: Die Behauptung über den Konvergenzradius folgt aus der Formel von Cauchy-Hadamard.

Sei o.B.d.A. a = 0. Sei 0 < r < r_{1} < R. Für x, h mit |x| < r und 0 < |h| < r_{1} − r sind f(x + h) und f(x) absolut konvergent, so daß wir ausrechnen können

\frac{f(x + h) − f(x)}{h} = ∑_{j=0}^{∞} (∑_{k=0}^{∞} c_{k+j+1}\binom{k + j + 1}{k}x^{k}) h^{j}

mit absoluter Konvergenz. Da diese Potenzreihe in h als Funktion von h (bei festem x) stetig ist, können wir den Grenzübergang h → 0 durch Einsetzen von h = 0 in die Potenzreihe durchführen. □

Korollar 4.3.5: Sei f(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(x−a)^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann ist f : ]a − R, a + R[ → R unendlich oft differenzierbar, und es gilt

c_{n} = \frac{1}{n!}f^{(n)}(a) .

Satz 4.3.6 (Identitätssatz für Potenzreihen): Seien f(x) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(x−a)^{n} und g(x) = ∑_{n=0}^{∞} d_{n}(x − a)^{n} Potenzreihen mit Konvergenzradius ≥ R > 0. Sei (x_{k}) eine Folge mit 0 < |x_{k} −a| < R und lim_{k→∞} x_{k} = a, so daß f(x_{k}) = g(x_{k}) ist für alle k. Dann ist f(x) = g(x).

V20-11.1.

Beweis: Zur Vereinfachung der Notation können wir zunächst annehmen, daß g = 0 und a = 0 ist. Durch Bilden einer Teilfolge können wir ferner annehmen, daß die Folge (x_{k}) streng monoton ist; o.B.d.A. sei sie streng monoton fallend. Induktiv finden wir nun streng monoton fallende Folgen (ξ_{k}^{(n)}) mit

ξ_{k+1}^{(n)} < ξ_{k}^{(n+1)} < ξ_{k}^{(n)}

und

f^{(n)}(ξ_{k}^{(n)}) = 0 :

Wir nehmen ξ_{k}^{(0)} = x_{k} und erhalten ξ_{k}^{(n+1)} durch Anwendng des Satzes von Rolle auf die Gleichung f^{(n)}(ξ_{k+1}^{(n)}) = 0 = f^{(n)}(ξ_{k}^{(n)}).

Es folgt

c_{n} = f^{(n)}(0) = lim_{k→∞} f^{(n)}(ξ_{k}^{(n)}) = 0 .

□

4.3.B Die Taylor-Formel

Definition 4.3.7: Sei f : I → R n-mal differenzierbar. Dann heißt

T_{n}(f; a)(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k}  (10)

das n-te Taylor-Polynom von f im Punkt a.

Satz 4.3.8 (Taylor-Formel): Sei I ⊂ R ein offenes Intervall. Sei f : I → R (n + 1)-mal differenzierbar. Dann gilt (für x, a in I)

f(x) = T_{n}(f; a)(x) + R_{n+1}(x; a) ,  (11)

wobei

R_{n+1}(x; a) = f^{(n+1)}(ξ) \frac{(x − a)^{n+1}}{(n + 1)!}  (12)

ist für ein ξ ∈ I mit 0 < |ξ − a| < |x − a|.

Beweis: Setze F (t) = ∑_{k=0}^{n} f^{(k)}(t)\frac{(x − t)^{k}}{k!} . Man rechnet leicht nach, daß

F′(t) = f^{(n+1)}(t)\frac{(x − t)^{n}}{n!}

ist. Nach dem verallgemeinerten MWS gibt es zu einer differenzierbaren Funktion G, deren Ableitung zwischen x und a keine Nullstelle hat, ein ξ, so daß gilt

\frac{F (x) − F (a)}{G(x) − G(a)} = \frac{F′(ξ)}{G′(ξ)} .

Für G(t) = (x − t)^{n+1} erhält man die Formel (11) mit dem Restglied (12) von Lagrange. □

Beispiele: Restgliedabschätzungen für Sinus und Cosinus sowie für log(1 + x) mit |x| < \frac{1}{2}. V21-16.1.

Korollar 4.3.9: Ist f : I → R (n + 1)-mal differenzierbar mit f^{(n+1)} = 0, so ist f = T_{n}(f; a).

4.3.C Analytische Funktionen

Definition 4.3.10: Sei I ein offenes Intervall und f : I → R unendlich oft differenzierbar. Die Taylorreihe von f im Punkt a ∈ I ist die Reihe

T (f; a)(x) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k} .

f heißt analytisch im Punkt a, wenn die Taylorreihe von f um a in einer Umgebung von a gegen f(x) konvergiert. f heißt analytisch auf I, wenn f in jedem Punkt a ∈ I analytisch ist.

Ein wichtiges Beispiel einer unendlich oft differenzierbaren, aber nicht analytischen Funktion ist

s(x) := \{ \begin{matrix}exp(−x^{−2}) & , & x > 0 , \\ 0 & , & sonst. \end{matrix}

Wir merken an, daß es unendlich oft differenzierbare Funktionen gibt, deren Taylorreihe den Konvergenzradius 0 hat.

Satz 4.3.11: Sei f : I → R analytisch in a ∈ I. Sei g(x) =: ∑_{k=0}^{∞} c_{k}(x − b)^{k} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Ist |f(a) − b| < R, so ist g ∘ f analytisch in a.

Beweis: Mit Hilfe des Doppelreihensatzes. □

Korollar 4.3.12: Sei g : J → R analytisch in b ∈ J. Dann ist f analytisch in jedem Punkt einer geeigneten Umgebung von b.

Korollar 4.3.13: Sei f : I → R analytisch in a ∈ I und f(a) ≠ 0. Dann ist \frac{1}{f} analytisch

in a.

Satz 4.3.14: Die folgenden Funktionen sind analytisch:

log(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} x^{k} für |x| < 1  (13)

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k} für |x| < 1  (14)

arcsin(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{2k}} \binom{2k}{k}\frac{x^{2k+1}}{2k + 1} für |x| < 1  (15)

arctan(x) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} für |x| < 1  (16)

Beweis: 1. Beide Seiten haben die gleiche Ableitung \frac{1}{1+x}.

2. Sei (für diesen Beweis) B_{α}(x) die durch die rechte Seite definierte Reihe^{7}. Für α ∈ N ist die Behauptung offensichtlich. Es gilt aber

B_{α}(x) · B_{β}(x) = B_{α+β}(x) .

Hieraus folgt die Behauptung für α ∈ Q. Der allgemeine Fall ergibt sich aus der Stetigkeit in α.

3. Beide Seiten haben die gleiche Ableitung \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} = B_{− \frac{1}{2}} (−x^{2}).

4. Beide Seiten haben die gleiche Ableitung \frac{1}{1+x^{2}} . □

Ohne Beweis erwähnen wir:

Satz 4.3.15: Die folgenden Funktionen sind analytisch:

\frac{x}{e^{x} − 1} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} x^{k} für |x| < 2π  (17)

tan(x) = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{B_{2k}}{(2k)!}2^{2k}(2^{2k} − 1)x^{2k} für |x| < \frac{π}{2}  (18)

Bemerkung: Gleichung (17) definiert die Bernoulli-Zahlen. Es ist B_{1} = −\frac{1}{2} und B_{2k+1} = 0 für k > 0.

4.3.D Kurvendiskussion

Definition 4.3.16: Eine Funktion f : [a, b] → R heißt konvex (auf [a, b]), wenn für alle x_{1}, x_{2}, x ∈ [a, b] mit x_{1} < x < x_{2} gilt

f(x) ≤ f(x_{1})\frac{x_{2} − x}{x_{2} − x_{1}} + f(x_{2})\frac{x − x_{1}}{x_{2} − x_{1}} .  (19)

Sie heißt streng konvex, wenn in obiger Ungleichung niemals die Gleichheit gilt. Eine Funktion f heißt (streng) konkav, wenn die Funktion −f (streng) konvex ist.

Satz 4.3.17: Eine Funktion f : [a, b] → R ist genau dann konvex, wenn für alle x_{1}, x_{2}, x ∈ [a, b] mit x_{1} < x < x_{2} gilt

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} .  (20)

Dann gilt sogar

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} .  (21)

7Sie heißt die binomische Reihe

E.O. 08/01/20  Analysis I  ana4t3.tex  69

Hilfssatz 4.3.18: Sei f : [a, b] → R differenzierbar. Dann ist f genau dann konvex, wenn f′ : [a, b] → R monoton wachsend ist. Korollar 4.3.19: Sei f : [a, b] → R zweimal differenzierbar. Dann ist f genau dann konvex, wenn f′′ ≥ 0 ist. Definition 4.3.20: Sei I ⊂ R ein offenes Intervall und f : I → R eine Funktion. f hat in ξ ∈ I einen Wendepunkt, wenn es ein δ > 0 gibt, so daß gilt:

a) f ist auf [ξ − δ, ξ] konvex und auf [ξ, ξ + δ] konkav. oder

b) f ist auf [ξ, ξ + δ] konvex und auf [ξ − δ, ξ] konkav. Satz 4.3.21: Sei I ⊂ R ein offenes Intervall. Sei f : I → R (n + 1)-mal stetig differenzierbar, und im Punkt a ∈ I sei

f^{(k)}(a) = 0 für 1 ≤ k ≤ n , aber f^{(n+1)}(a) ≠ 0 .

Dann gilt für n ≥ 1:

1. Ist n + 1 gerade, so hat f im Punkt a ein strenges lokales Extremum; dieses ist ein Minimum, falls f^{(n+1)}(a) > 0 ist.

2. Ist n + 1 ungerade, so hat f im Punkt a einen Wendepunkt; ist f^{(n+1)}(a) > 0, so ist

f in einer Umgebung von a streng monoton wachsend. Beispiele für Kurvendiskussionen. V23-18.1.