Vorlesung Analysis I — WS 07/08 Kapitel 3

Erich Ossa

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Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 1

1.1 Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.A Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.B Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.A Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.B Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.C Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.A Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.B Zahlen zum Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.C Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.A Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.B Ordnungs-Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.C Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.D Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.E Die Mächtigkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.A Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.B Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 * Rekursive Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Folgen und Reihen 38

2.1 Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.A Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.B Monotone Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.C Häufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.A Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.B Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.C Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Stetige Funktionen 49

3.1 Häufungspunkte und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.A Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.B Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.A Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.B Globale Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.A Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.B Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.C Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.D Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Dieses Skript ist noch nicht in seiner endgültigen Gestalt. Für Fehlermeldungen, Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge wäre ich dankbar.

E. Ossa

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Stetige Funktionen  49

3 Stetige Funktionen

In diesem Kapitel könnte D auch eine Teilmenge von C und f eine Abbildung f : D → C sein. Wir interessieren uns aber insbesondere für den Fall D ⊂ R und f : D → R und formulieren Definitionen und Sätze deshalb nur für diesen Fall.

3.1 Häufungspunkte und Grenzwerte

3.1.A Häufungspunkte Definition 3.1.1: Sei a ∈ R.

1. Sei δ ∈ R_{+}. Die δ-Umgebung von a ist die Menge U_{δ}(a) := {x ∈ R | |x − a| < δ}. Die punktierte δ-Umgebung von a ist U_{δ}^{•}(a) := U_{δ}(a) − {a}.

2. Eine Teilmenge V ⊂ R heißt Umgebung von a, wenn es ein δ > 0 gibt, so daß die δ-Umgebung U_{δ}(a) von a ganz in V enthalten ist. Dann heißt a auch innerer Punkt von V.

3. Eine Teilmenge V ⊂ R heißt offen, wenn sie Umgebung aller ihrer Punkte ist. Definition 3.1.2: Sei M ⊂ R eine Teilmenge und a ∈ R.

1. a heißt Häufungspunkt von M, wenn jede Umgebung von a unendliche viele Punkte von M enthält.

2. Ist a ∈ M, so heißt a isolierter Punkt von M, wenn a kein Häufungspunkt von M ist.

3. M heißt abgeschlossen (in R), wenn M alle seine Häufungspunkte enthält. Beispiele. Hilfssatz 3.1.3: Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. a ist Häufungspunkt von M,

2. U_{δ}^{•}(a) ∩ M ≠ ∅ für jedes δ > 0,

3. es gibt eine Folge (x_{n}) mit x_{n} ∈ M − {a} und lim x_{n} = a. Hilfssatz 3.1.4: Sei M ⊂ R eine Teilmenge und a ∈ R. Dann ist a genau dann kein Häufungspunkt von M, wenn es ein δ > 0 gibt mit U_{δ}(a) ∩ M ⊂ {a}. Der Durchschnitt ist also entweder = ∅ oder = {a}.

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Stetige Funktionen  50

Hilfssatz 3.1.5:

1. M ist genau dann abgeschlossen, wenn R − M offen ist.

2. Das offene Intervall ]c, d[ ist offen.

3. Das abgeschlossene Intervall [c, d] ist abgeschlossen. 3.1.B Grenzwerte Definition 3.1.6: Sei f : D → R eine Funktion und sei a ∈ R ein Häufungspunkt von D. Sei w ∈ R. Wir sagen, f habe in a den Grenzwert w, und schreiben

lim_{x→a} f(x) = w ,

wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß für alle x ∈ D − {a} gilt:

|x − a| < δ ⟹ |f(x) − w| < ε .

Offenbar ist der Grenzwert w eindeutig bestimmt. Die obige ε-δ-Bedingung können wir auch kurz schreiben als

x ∈ U_{δ}^{•}(a) ⟹ f(x) ∈ U_{ε}(w) .

Ist E ⊂ D und g := f|_{E} so schreibt man auch lim_{x→a_{x∈E}} f(x) := lim_{x→a} g(x). Mit D^{+} := {x ∈

D | x > a} und D^{−} := {x ∈ D | x < a} setzt man lim_{x↘a} f(x) := lim_{x→a_{x∈D^{+}}} f(x) und lim_{x↗a} f(x) :=

lim_{x→a_{x∈D^{−}}} f(x). Diese heißen rechtsseitiger bzw. linksseitiger Grenzwert von f im Punkt a.

Hilfssatz 3.1.7: Sei a Häufungspunkt von D. Dann ist genau dann lim_{x→a} f(x) = w, wenn für jede Folge (x_{n}) mit x_{n} ∈ D − {a} und lim x_{n} = a gilt: lim f(x_{n}) = w. Hilfssatz 3.1.8: Sei a Häufungspunkt von D und w = lim_{x→a} f(x).

1. Ist δ > 0 und f(x) ≥ u für x ∈ U_{δ}^{•}(a), so ist w ≥ u.

2. Ist w > u, so gibt es ein δ > 0, so daß f(x) > u ist für x ∈ U_{δ}^{•}(a). Definition 3.1.9: Seien f, g : D → R.

1. Die Funktion f + g : D → R ist definiert durch x ↦ f(x) + g(x).

2. Die Funktion f · g : D → R ist definiert durch x ↦ f(x) g(x).

3. Sei D′ := \{x ∈ D | g(x) ≠ 0\}. Die Funktion \frac{f}{g} : D′ → R ist definiert durch x ↦ \frac{f(x)}{g(x)}.

Hilfssatz 3.1.10: Sei a Häufungspunkt von D und seien f, g : D → R Funktionen mit lim_{x→a} f(x) = v und lim_{x→a} g(x) = w.

1. Für s := f + g und p := f · g gilt lim_{x→a} s(x) = v + w und lim_{x→a} p(x) = v · w.

2. Ist w ≠ 0, so gibt es ein δ > 0, so daß q := \frac{f}{g} auf D ∩ U_{δ}^{•}(a) definiert ist, und es gilt

lim_{x→a} q(x) = \frac{v}{w}.

Korollar 3.1.11: Seien f ∈ R[t] und g ∈ R[t] Polynome.

1. Es ist lim_{x→a} f(x) = f(a).

2. Sei g(a) ≠ 0 und q := \frac{f}{g}. Dann ist lim_{x→a} g(x) = \frac{f(a)}{g(a)}.

Hilfssatz 3.1.12: Sei f(x) = ∑_{k≥0} a_{k}(x−x_{0})^{k} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0.

Sei |a − x_{0}| < R. Dann ist lim_{x→a} f(x) = f(a).

Beispiele.

3.2 Stetigkeit

3.2.A Grundlagen

Definition 3.2.1: Sei f : D → R eine Funktion und sei a ∈ D. Dann heißt f stetig im Punkt a, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so daß für alle x ∈ D mit |x − a| < δ gilt |f(x) − f(a)| < ε.

Hilfssatz 3.2.2: Sei f : D → R eine Funktion und sei a ∈ D.

1. Ist a Häufungspunkt von D, so ist f genau dann stetig in a, wenn lim_{x→a} f(x) = f(a) ist.

2. Ist a isolierter Punkt von D, so ist f stetig in a.

Satz 3.2.3: Sei f : D → R eine Abbildung und a ∈ D. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. f ist stetig im Punkt a.

2. Für jede Folge (x_{n}) mit x_{n} ∈ D und lim x_{n} = a gilt: lim f(x_{n}) = f(a).

Satz 3.2.4: Seien f, g : D → R. Sei D′ := {x ∈ D | g(x) ≠ 0}. Sind f, g stetig in a ∈ D,

so auch f + g, f · g und, falls a ∈ D′ ist, \frac{f}{g} : D′ → R.

Satz 3.2.5: Seien f : D → R und g : E → R Abbildungen. Sei F := {x ∈ D | f(x) ∈ E}, und sei a ∈ D mit f(a) = b ∈ E. Ist f stetig in a und g stetig in b, so ist g ∘ f : F → R stetig in a.

Korollar 3.2.6: Ist f : D → R stetig im Punkt a ∈ D, so ist auch |f| : D → R stetig im Punkt a.

Definition 3.2.7: Eine Funktion f : D → R heißt stetig auf D, wenn sie in jedem Punkt a ∈ D stetig ist.

Offenbar gelten dann die Analoga von Satz 3.2.4, Satz 3.2.5 und Korollar 3.2.6 auch für globale Stetigkeit.

Satz 3.2.8: Seien f(t), g(t) ∈ R[t] Polynome.

1. x ↦ f(x) definiert eine stetige Funktion f : R → R.

2. Sei g ≠ 0, N := {x ∈ R | g(x) = 0} und

N′ := {x ∈ N | g verschwindet in x von höherer Ordnung als f} .

Dann definiert x ↦ \frac{f(x)}{g(x)} eine stetige Funktion f : R − N′ → R.

Satz 3.2.9: Sei f = ∑ a_{n}(x − x_{0})^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann definiert f eine stetige Funktion f : ]x_{0} − R, x_{0} + R [ → R.

3.2.B Globale Eigenschaften stetiger Funktionen

Wir erinnern an die folgende nützliche Eigenschaft stetiger Funktionen:

Ist f : D → R stetig in ξ ∈ D und η ∈ R mit f(ξ) > η, so gibt es ein δ > 0 mit

x ∈ D und |x − ξ| < δ ⇒ f(x) > η .

Satz 3.2.10 (Zwischenwertsatz): Sei f : [a, b] → R stetig und η ∈ R mit f(a) < η < f(b). Dann gibt es ein ξ ∈]a, b[ mit f(ξ) = η.

Beweis: Sei M := {x ∈ [a, b] | f(x) ≥ η} und seien x_{n} ∈ M mit lim x_{n} = ξ := inf(M). Wegen der Stetigkeit ist f(ξ) ≥ η, also ξ > a, und wegen der obigen Vorbemerkung kann nicht f(ξ) > η sein. □

Der Spezialfall η = 0 wird manchmal Nullstellensatz oder auch Satz von Bolzano genannt.

Korollar 3.2.11: Sei f(t) ∈ R[t] ein Polynom von ungeradem Grad. Dann hat f eine Nullstelle in R.

Satz 3.2.12 (Satz vom Maximum): Sei f : [a, b] → R stetig. Dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit f(ξ) ≥ f(x) für alle x ∈ [a, b].

Beweis: Sei M := {f(x) | x ∈ [a, b]} und η := sup(M) ∈ R ∪ {∞}. Seien y_{n} ∈ M mit lim y_{n} = η. Dann gibt es x_{n} ∈ [a, b] mit f(x_{n}) = y_{n}. Sei (x_{n_{k}}) eine konvergente Teilfolge und lim x_{n_{k}} = ξ. Dann folgt f(ξ) = η; insbesondere ist also η < ∞ und f(ξ) = sup(M). □

Korollar 3.2.13: Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist Bild(f) ein (endliches) abgeschlossenes Intervall.

Satz 3.2.14 (Umkehrsatz): Sei f : [a, b] → R stetig und streng monoton wachsend. Dann ist

f : [a, b] → [f(a), f(b)] bijektiv

und die Umkehrabbildung

g = f^{−1} : [f(a), f(b)] → [a, b]

ist stetig.

Beweis: Da f streng monoton ist, ist f injektiv und Bild(f) ⊂ [f(a), f(b)]. Aber nach dem Zwischenwertsatz ist dann f : [a, b] → [f(a), f(b)] auch surjektiv.

Sei g := f^{−1} und seien y_{n} ∈ [a, b] mit lim y_{n} = η. Sei y_{n} = f(x_{n}) und sei (x_{n_{k}}) eine konvergente Teilfolge von (x_{n}) mit lim_{k→∞} x_{n_{k}} = ξ. Es folgt f(ξ) = lim y_{n_{k}} = η, also ξ = g(η). Daher ist (x_{n}) sogar konvergent und lim g(y_{n}) = g(η). □

3.3 Elementare Funktionen

3.3.A Polynome und rationale Funktionen

Satz 3.3.1 (Interpolationsformel): Seien x_{0}, x_{1}, …, x_{n} paarweise verschiedene Punkte von R. Dann gibt es zu y_{0}, y_{1}, …, y_{n} ∈ R genau ein Polynom f ∈ R[t] vom Grad ≤ n mit f(x_{i}) = y_{i} für i = 0, …, n, nämlich

f(x) = ∑_{i=0}^{n} y_{i} ∏_{j=0_{j≠i}}^{n} \frac{x − x_{j}}{x_{i} − x_{j}} .

Satz 3.3.2 (Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen): Seien f, g ∈ C[t] Polynome und

g(t) = ∏_{j=1}^{r}(t − α_{j})^{n_{j}} ,

wobei α_{1}, …, α_{r} paarweise verschiedene komplexe Zahlen sind und n_{1}, …, n_{r} positive natürliche Zahlen. Dann gibt es eindeutig bestimmte komplexe Zahlen

a_{j,ν_{j}} für j = 1, …, r und 1 ≤ ν_{j} ≤ n_{j}

und ein Polynom p(t) ∈ C[t], so daß gilt:

\frac{f(t)}{g(t)} = p(t) + ∑_{j=1}^{r} ∑_{ν_{j}=1}^{n_{j}} \frac{a_{j,ν_{j}}}{(t − α_{j})^{ν_{j}}} .  (9)

Beispiel: Sei f(t) = t^{4} − 2t^{3} − 6t + 3 und g(t) = (t + 1)^{2}(t − 1). In etwas übersichtlicher Notation soll

\frac{t^{4} − 2t^{3} − 6t + 3}{(t + 1)^{2}(t − 1)} = p(t) + \frac{a}{(t + 1)^{2}} + \frac{b}{t + 1} + \frac{c}{t − 1}

sein für geeignete komplexe Zahlen a, b, c. Multiplizieren wir diese Gleichung mit (t + 1)^{2} so erhalten wir

\frac{f(t)}{t − 1} = (t + 1)^{2}p(t) + a + b(t + 1) + c\frac{(t + 1)^{2}}{(t − 1)} .

Setzen wir hierin t = −1 ein, so verschwinden auf der rechten Seite alle Terme außer a; es folgt a = \frac{f(−1)}{−2} = −6. Aus der ursprünglichen Gleichung erhalten wir nun durch Einsetzen von a:

\frac{t^{3} − 3t^{2} + 3t − 3}{(t + 1)(t − 1)} = p(t) + \frac{b}{t + 1} + \frac{c}{t − 1} .

Nach Multiplikation mit (t + 1) und nochmaligem Einsetzen von t = −1 folgt b = 5. Nach Vereinfachen und Multiplikation mit (t − 1) erhalten wir schließlich

\frac{f(t)}{g(t)} = t − 3 − \frac{6}{(t + 1)^{2}} + \frac{5}{t + 1} − \frac{1}{t − 1} .

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Stetige Funktionen  55

3.3.B Exponentialfunktion und Logarithmus Satz 3.3.3 (und Definition): exp definiert eine stetige streng monotone Bijektion

exp : R → R_{+} .

Die Umkehrfunktion

log : R_{+} → R

heißt der natürliche Logarithmus. Bemerkung: Es ist log(x) = lim_{n→∞} n( \sqrt[n]{x} − 1). Satz 3.3.4:

1. Es gilt log(xy) = log(x) + log(y).

2. Sei a ∈ R_{+} − {1}. Die Umkehrfunktion von a^{x} : R → R_{+} ist log_{a}(x) := \frac{log(x)}{log(a)} .

3.3.C Trigonometrische Funktionen Definition 3.3.5: Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sind definiert durch die auf R absolut konvergenten Reihen

sin(x) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n+1} ,
cos(x) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} .

Satz 3.3.6: Für x ∈ R gilt (mit i = \sqrt{−1}):

e^{ix} = cos(x) + i sin(x) ,

cos^{2}(x) + sin^{2}(x) = 1 ,

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) ,

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) .

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Stetige Funktionen  56

Bemerkung: Für 0 < x < 2\sqrt{3} ist 1 − \frac{1}{2}x^{2} < cos(x) < 1 − \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4}. Insbesondere hat cos(x) eine Nullstelle x_{0} mit \sqrt{2} < x_{0} < \sqrt{6 − 2\sqrt{3}}. Definition 3.3.7: π sei die kleinste positive Nullstelle von sin(x). Korollar 3.3.8: sin(x) und cos(x) haben die Periode 2π. Die Menge der Nullstellen von sin(x) ist Zπ = \{kπ | k ∈ Z\}, die Menge der Nullstellen von cos(x) ist \frac{π}{2} +Zπ = \{\frac{(2k+1)π}{2} | k ∈ Z}. Korollar 3.3.9: Es ist

e^{iπ} = −1 .

Definition 3.3.10: Die Funktionen Tangens und Cotangens sind definiert durch

tan(x) := \frac{sin(x)}{cos(x)} für x ∉ \frac{π}{2} + Zπ ,

und

cot(x) := \frac{cos(x)}{sin(x)} für x ∉ Zπ .

Ohne Beweis vermerken wir: Satz 3.3.11: Die folgenden Abbildungen sind bijektiv:

sin(x) : [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ] ⟶ [−1, 1] ,
cos(x) :  [ 0, π] ⟶ [−1, 1] ,
tan(x) : ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [ ⟶ R .

Definition 3.3.12: Die Arcus-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der obigen Funktionen:

arcsin(x) : [−1, 1] ⟶ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]
arccos(x) : [−1, 1] ⟶ [ 0, π]
arctan(x) : R ⟶ ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [

Genauer werden diese als die Hauptzweige der Arcus-Funktionen bezeichnet, 3.3.D Hyperbelfunktionen

Definition 3.3.13: Die Hyperbel-Funktionen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus sind definiert durch

sinh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x})

und

cosh(x) := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) .

Satz 3.3.14: Die Hyperbelfunktionen haben die folgenden Eigenschaften:

cosh^{2}(x) − sinh^{2}(x) = 1 ,

cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) ,

sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) .

Definition 3.3.15: Der hyperbolische Tangens und Cotangens sind die Funktionen

tanh(x) := \frac{sinh(x)}{cosh(x)} : R → R

und

coth(x) := \frac{cosh(x)}{sinh(x)} : R − \{0\} → R

Satz 3.3.16: Die folgenden Abbildungen sind bijektiv:

sinh(x) :  R ⟶ R ,
cosh(x) : [ 0, ∞ [ ⟶ [ 1, ∞ [ ,
tanh(x) : R ⟶] − 1, 1 [ .

Ihre Umkehrfunktionen werden als die Area-Funktionen arsinh(x), arcosh(x), artanh(x) bezeichnet.

Definition 3.3.17: Die Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der obigen Funktionen:

arsinh(x) : R ⟶ R
arcosh(x) : [ 1, ∞ [⟶ [ 0, ∞ [
artanh(x) : ] − 1, 1[⟶ R