Vorlesung Analysis I — WS 07/08

Erich Ossa

Vorläufige Version

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 1

1.1 Elementare Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.A Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.B Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Elementare Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.A Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.B Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.C Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.A Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.B Zahlen zum Zählen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.C Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.A Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.B Ordnungs-Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.C Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.D Darstellung reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.E Die Mächtigkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.A Rechnen mit komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.B Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6 Arithmetisches und geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 * Rekursive Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Folgen und Reihen 38

2.1 Folgen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.A Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.B Monotone Folgen reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.C Häufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.A Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.B Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.C Absolut konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Dieses Skript ist noch nicht in seiner endgültigen Gestalt. Für Fehlermeldungen, Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge wäre ich dankbar.

E. Ossa

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Inhalt  38

2 Folgen und Reihen

2.1 Folgen komplexer Zahlen

2.1.A Konvergenz Definition 2.1.1:

1. Sei M eine Menge. Eine Folge (a_{n})_{n∈N} von Elementen von M ist eine Abbildung N→M, geschrieben n ↦ a_{n}. Wir betrachten vor allem Zahlenfolgen, d.h. Folgen komplexer Zahlen (M = C) oder reeller Zahlen (M = R).

2. Eine Zahlenfolge (a_{n})_{n∈N} heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl A gibt mit |a_{n}| ≤

A für alle n ∈ N. Allgemeiner betrachtet man auch Abbildungen {n ∈ Z | n ≥ n_{0}}→M als Folgen (a_{n})_{n≥n_{0}} von Elementen von M. Definition 2.1.2: Seien a_{n} ∈ C und a ∈ C.

1. Die Folge (a_{n})_{n∈N} konvergiert gegen a, wenn es zu jedem ε ∈ R_{+} ein N ∈ N gibt, so daß für alle n ∈ N mit n ≥ N gilt |a_{n} − a| < ε. Man schreibt dann a_{n} → a und nennt die Folge konvergent.

2. Die Folge (a_{n})_{n∈N} heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Übung: Ausformulierung der Divergenz. Formulierung: ”Für fast alle natürliche Zahlen n gilt A(n)“ bedeutet: ”Für alle bis auf endlich viele natürliche Zahlen n gilt A(n)“. In Formeln:

⋁_{N∈N} ⋀_{n∈N}(n ≥ N ⇒ A(n)) .

Lemma 2.1.3 (Vermeidungs-Lemma): Sei a_{n} → a.

1. Ist a′ ≠ a und ε ∈ R_{+} mit ε < |a − a′|, so ist |a_{n} − a′| ≥ ε für fast alle n.

2. Die Folge (a_{n})_{n} ist beschränkt. Definition 2.1.4:

1. Ist die Folge (a_{n})_{n} konvergent gegen a, so ist a eindeutig bestimmt. Wir schreiben a = lim_{n→∞} a_{n} und nennen a den Grenzwert der Folge (a_{n}).

2. (a_{n}) heißt Nullfolge, wenn lim_{n→∞} a_{n} = 0 ist.

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Inhalt  39

Hilfssatz 2.1.5: Ist (b_{n}) Nullfolge und |a_{n}| ≤ |b_{n}| für fast alle n, so ist (a_{n}) Nullfolge. Lemma 2.1.6 (Rechenregeln für Grenzwerte): Seien (a_{n})_{n} und (b_{n})_{n} konvergente Folgen mit lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b.

1. Es ist lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b und lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = a · b.

2. Ist b ≠ 0, so ist b_{n} ≠ 0 für fast alle n und lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}.

3. Es ist lim_{n→∞} \overline{a_{n}} = \overline{a} und lim_{n→∞} |a_{n}| = |a|. Insbesondere ist genau dann lim_{n→∞} a_{n} = a, wenn (a_{n} − a)_{n} eine Nullfolge ist. Korollar 2.1.7: Eine Folge (a_{n})_{n} komplexer Zahlen ist genau dann konvergent gegen a ∈ C, wenn gilt:

lim_{n→∞} Re(a_{n}) = Re(a) und lim_{n→∞} Im(a_{n}) = Im(a) .

Der Einfachheit halber betrachten wir von nun an nur Folgen reeller Zahlen, wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird. Satz 2.1.8: Sei s ∈ Q_{+}, a ∈ R_{+}, q ∈ R, |q| < 1. Dann gilt:

lim_{n→∞} n^{−s} = 0 , lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1 , lim_{n→∞} q^{n} = 0 .

Lemma 2.1.9: Seien (a_{n}), (c_{n}) konvergente Folgen reeller Zahlen.

1. Ist a_{n} ≤ c_{n} für fast alle n, so ist lim a_{n} ≤ lim c_{n}.

2. Ist a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} für fast alle n und lim a_{n} = lim c_{n}, so ist lim b_{n} = lim c_{n}. Lemma 2.1.10:

1. Ist |a_{n+1}| ≤ \frac{n}{n + 1}|a_{n}| für fast alle n, so ist (a_{n}) Nullfolge.

2. Wenn es ein θ ∈ R_{+} gibt mit θ < 1 und |a_{n+1}| ≤ θ|a_{n}| für fast alle n, so ist (a_{n})

Nullfolge. Proposition 2.1.11:

1. lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

2. Sei x ∈ R mit |x| > 1 und k ∈ Q_{+}. Dann ist lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{x^{n}} = 0.

Beweis: 1. Für n > 1 ist \sqrt[n]{n} > 1. Schreiben wir n als Produkt von n − 2 Faktoren 1 und zwei Faktoren \sqrt{n}, so erhalten wir aus der AGM-Ungleichung

\sqrt[n]{n} ≤ \sqrt[n]{1^{n−2}\sqrt{n}\sqrt{n}} ≤ \frac{1}{n}(n − 2 + 2\sqrt{n}) = 1 − \frac{2}{n} + \frac{2}{\sqrt{n}} ,

woraus unmittelbar die Behauptung folgt. ^{6}

2. Setze a_{n} = \frac{n^{k}}{x^{n}} und θ = \frac{1}{2}(|x|^{−1} + 1). Dann ist |x|^{−1} < θ < 1 und für genügend große n wird

\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = (1 + \frac{1}{n})^{k} |x|^{−1} < θ .

□

Definition 2.1.12: Sei (a_{n})_{n} eine Folge.

1. Ist φ : N→N eine streng monotone Abbildung, so heißt die Folge (b_{n})_{n} mit b_{n} = a_{φ(n)} eine Teilfolge der Folge (a_{n})_{n}.

2. Ist φ : N→N eine bijektive Abbildung, so heißt die Folge (b_{n})_{n} mit b_{n} = a_{φ(n)} eine Umordnung der Folge (a_{n})_{n}.

Lemma 2.1.13: Konvergenz von Teilfolgen und Umordnungen einer konvergenten Folge.

Definition 2.1.14: Bestimmte Divergenz gegen ±∞.

2.1.B Monotone Folgen reeller Zahlen

Definition 2.1.15 (Monotone Konvergenz):

1. Eine Folge (a_{n})_{n∈N} heißt monoton wachsend, wenn stets a_{n} ≤ a_{n+1} ist; sie heißt streng monoton wachsend, wenn stets a_{n} < a_{n+1} ist. Analog sind (streng) monoton fallende Folgen definiert.

2. Wir schreiben a_{n} ↗ x, wenn die Folge (a_{n})_{n∈N} monoton wachsend ist und gegen x konvergiert; wir schreiben a_{n} ↘ x, wenn die Folge (a_{n})_{n∈N} monoton fallend ist und gegen x konvergiert. In beiden Fällen sprechen von monotoner Konvergenz der Folge (a_{n})_{n∈N} gegen x.

6Man kann die Behauptung auch mit Hilfe der Bernoulli’schen Ungleichung beweisen: Für n > 0 ist

\sqrt{n} = ( \sqrt[2n]{n})^{n} = (1 + \sqrt[2n]{n} − 1)^{n} ≥ 1 + n( \sqrt[2n]{n} − 1) , also \sqrt[2n]{n} ≤ 1 + \frac{1}{n} (\sqrt{n} − 1).

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Inhalt  41

Hilfssatz 2.1.16: Sei x ∈ R. Dann gibt es monotone Folgen rationaler Zahlen (a_{n}) und (b_{n}) mit a_{n} ↗ x und b_{n} ↘ x. Beispiel: Intervallschachtelungen, insbesondere Dezimalbruch-Entwicklungen ρ_{g,n}(z) ↗ ρ_{g}(z) und 1 − ρ_{g,n}(z) ↘ 1 − ρ_{g}(z). Satz 2.1.17: Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Definition 2.1.18: Seien a, x ∈ R und sei a > 1. Es sei

a^{x} := sup{a^{r} | r ∈ Q und r < x} .

Es sei noch 1^{x} = 1; für 0 < b < 1 sei a = \frac{1}{b} und b^{x} = a^{−x}. Hilfssatz 2.1.19: Seien a, x, y ∈ R und sei a > 1.

1. Seien (r_{n}) und (s_{n}) Folgen rationaler Zahlen mit r_{n} ↗ x und s_{n} ↘ x. Dann gilt lim a^{r_{n}} ↗ a^{x} ↙ lim a^{s_{n}} .

2. a^{x+y} = a^{x}a^{y}, (a^{x})^{y} = a^{xy}. Proposition 2.1.20: Seien a, a_{0} > 0. Mit a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_{n} + \frac{a}{a_{n}}) ist a_{n+1} ↘ \sqrt{a}.

Proposition 2.1.21: (1 + \frac{1}{n})^{n} ↗ e ↙ (1 + \frac{1}{n})^{n+1}. Beweis: ξ_{n}(x) = (1 + \frac{x}{n})^{n} ist ab n ≥ −x monoton wachsend (Beweis mit AGM). Setze a_{n} = ξ_{n}(1) und b_{n} = ξ_{n+1}(−1)^{−1}. □

Korollar 2.1.22: \frac{n^{n}}{e^{n−1}} < n! < \frac{n^{n+1}}{e^{n−1}} für n > 1.

2.1.C Häufungswerte Definition 2.1.23: a ∈ C heißt Häufungswert der Folge (a_{n})_{n∈N}, wenn es zu ε ∈ R_{+} unendlich viele n ∈ N gibt mit |a_{n} − a| < ε. Satz 2.1.24: a ist genau dann Häufungswert der Folge (a_{n}), wenn (a_{n}) eine gegen a konvergente Teilfolge besitzt. Beispiele.

Satz 2.1.25 (Bolzano-Weierstraß): Eine beschränkte Folge (a_{n}) reeller Zahlen hat einen größten Häufungswert a^{∗} =: lim sup a_{n} und einen kleinsten Häufungswert a_{∗} =: lim inf a_{n}.

Korollar 2.1.26: Eine beschränkte Folge komplexer Zahlen hat einen Häufungswert.

Definition 2.1.27: Eine Zahlenfolge (a_{n}) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε ∈ R_{+} ein N ∈ N gibt, so daß für alle m, n ∈ N mit m ≥ n ≥ N gilt |a_{m} − a_{n}| < ε.

Satz 2.1.28: Eine Folge komplexer Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

E.Ossa  Vorlesung Analysis I  Inhalt  43

2.2 Unendliche Reihen

2.2.A Grundbegriffe Definition 2.2.1: Sei (a_{k})_{k} eine Zahlenfolge. Unter der unendliche Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} versteht man die Folge (s_{n})_{n} der Partialsummen s_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}. Die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} heißt konvergent, wenn die Folge (s_{n})_{n} konvergent ist. In diesem Fall heißt ∑_{k=0}^{∞} a_{k} = lim_{n→∞} s_{n} der Grenzwert der Reihe. Beispiele: Dezimalbrüche. Harmonische Reihe. log 2. ζ(2). Hilfssatz 2.2.2: Seien c_{k} = a_{k} + ib_{k} (mit a_{k}, b_{k} ∈ R) komplexe Zahlen. Dann ist ∑_{k} c_{k} genau dann konvergent, wenn ∑_{k} a_{k} und ∑_{k} b_{k} konvergent sind, und in diesem Fall ist ∑_{k} c_{k} = ∑_{k} a_{k} + i ∑_{k} b_{k}. Lemma 2.2.3: Sei (a_{k})_{k} eine Zahlenfolge.

1. Die Teilfolge (b_{j}) von (a_{k}) entstehe aus (a_{k}) durch Weglassen von Nullen. Dann ist ∑ b_{k} genau dann konvergent, wenn ∑ a_{k} es ist.

2. Sei b_{k} = a_{k} für fast alle k. Dann ist ∑ b_{k} genau dann konvergent, wenn ∑ a_{k} es ist.

3. Sei n_{1} > n_{0}. Dann ist ∑_{k≥n_{0}} a_{k} genau dann konvergent, wenn ∑_{k≥n_{1}} a_{k} es ist. Proposition 2.2.4: Divergenz der harmonischen Reihe s_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Beweis: Verdichtungsprinzip von Cauchy. □

Satz 2.2.5 (Rechnen mit unendlichen Reihen):

1. ∑(λa_{k} + μb_{k}) = λ ∑ a_{k} + μ ∑ b_{k},

2. ∑ a_{k} = ∑ a_{2k} + ∑ a_{2k+1}, falls die rechten Seiten existieren. Lemma 2.2.6: Sei f : N → N streng monoton mit f(0) = 0. Sei b_{j} = ∑_{k=f(j)}^{f(j+1)−1} a_{k}. Dann ist ∑ b_{j} = ∑ a_{k}, falls die rechte Seite existiert. Beispiel: a_{k} = (−1)^{k}.

Satz 2.2.7: Konvergenzkriterium von Cauchy für Reihen. Korollar 2.2.8: Ist die unendliche Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} konvergent, so ist die Folge der Reihenglieder (a_{k}) sowie der Reihenreste (r_{n}) mit r_{n} := ∑_{k=n}^{∞} a_{k} jeweils eine Nullfolge. Satz 2.2.9: Sei q ∈ C.

1. ∑ q^{k} divergiert für |q| ≥ 1.

2. ∑ q^{k} konvergiert gegen \frac{1}{1−q} für |q| < 1. Satz 2.2.10: Sei s ∈ R.

1. ∑_{k≥1} k^{−s} divergiert für s ≤ 1.

2. ∑_{k≥1} k^{−s} konvergiert für s > 1.

Für s > 1 definiert man ζ(s) = ∑_{k≥1} k^{−s}. Zum Beispiel ist ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} .

2.2.B Konvergenzkriterien Satz 2.2.11 (Leibnizkriterium für alternierende Reihen): Sei (a_{k}) eine reelle Folge mit a_{k} ↘ 0. Dann ist ∑(−1)^{k}a_{k} konvergent. Beispiele: ∑(−1)^{k} \frac{1}{k+1} = log(2) und ∑(−1)^{k} \frac{1}{2k+1} = \frac{π}{4} . Satz 2.2.12 (Majorantenkriterium): Seien b_{k} nicht-negative reelle Zahlen und sei ∑ b_{k} konvergent. Ist |a_{k}| ≤ b_{k} für fast alle k, so ist auch ∑ a_{k} konvergent. Satz 2.2.13 (Quotientenkriterium): Sei a_{k} ≠ 0 für fast alle k.

1. Gibt es ein q < 1, so daß \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} ≤ q ist für fast alle k, so ist ∑ a_{k} absolut konvergent.

2. Ist \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} ≥ 1 für fast alle k, so ist ∑ a_{k} divergent. Man beachte, daß die erste Bedingung des Quotientenkriteriums schon erfüllt ist, wenn lim sup \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} < 1 ist. Satz 2.2.14 (Wurzelkriterium):

1. Gibt es ein q < 1, so daß \sqrt[k]{|a_{k}|} ≤ q ist für fast alle k, so ist ∑ a_{k} absolut konvergent.

2. Ist \sqrt[k]{|a_{k}|} ≥ 1 für unendlich viele k, so ist ∑ a_{k} divergent. Beispiele.

2.2.C Absolut konvergente Reihen

Beispiel: Umordnung von ∑_{k≥1} \frac{(−1)^{k−1}}{k}. Bedingte Konvergenz.

Hilfssatz 2.2.15: Ist ∑ |a_{k}| konvergent, so auch ∑ a_{k}, und es gilt

| ∑ a_{k}| ≤ ∑ |a_{k}| .

Definition 2.2.16: Die Reihe ∑ a_{k} heißt absolut konvergent, wenn ∑ |a_{k}| konvergent ist.

Satz 2.2.17: Kleiner Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen.

Korollar 2.2.18: Sei M eine abzählbar unendliche Menge und a : M → C mit m ↦ a_{m} eine Abbildung. Seien φ : N→M und ψ : N→M Bijektionen. Ist ∑ a_{φ(k)} absolut konvergent, so auch ∑ a_{ψ(k)}. In diesem Fall ist ∑ a_{φ(k)} = ∑ a_{ψ(k)}.

Definition 2.2.19: Sei M eine abzählbar unendliche Menge und a : M → C mit m ↦ a_{m} eine Abbildung. Dann heißt a summierbar, wenn für eine (und damit für jede) Bijektion φ : N→M die Reihe ∑ a_{φ(k)} absolut konvergent ist. In diesem Fall heißt ∑_{m∈M} a_{m} := ∑ a_{φ(k)} die Summe der Funktion a.

Ohne Beweis:

Satz 2.2.20 (Großer Umordnungssatz): Sei M eine abzählbar unendliche Menge und a : M → C mit m ↦ a_{m} eine Abbildung. Sei J eine abzählbare Menge, und M = ⋃_{j∈J} M_{j} eine Zerlegung von M in paarweise disjunkte Teilmengen. Sei A ∈ C. Dann sind äquivalent:

• a ist summierbar mit ∑_{m∈M} a_{m} = A.

• Für jedes j ∈ J ist die Einschränkung a|_{M_{j}} summierbar. Ist A_{j} := ∑_{m∈M_{j}} a_{m}, so ist die Abbildung J→C mit j ↦ A_{j} summierbar mit ∑_{j∈J} A_{j} = A.

Äquivalent dazu ist der

Satz 2.2.21 (Doppelreihensatz): Seien a_{k,j} ∈ C für (k, j) ∈ N × N. Sei A ∈ C. Dann sind äquivalent:

• ∑_{k,j} a_{k,j} = A mit absoluter Konvergenz (für eine beliebige Anordnung von N × N).

• Für jedes k ∈ N ist ∑_{j} a_{k,j} absolut konvergent mit Summe A_{k}, und ∑_{k∈N} A_{k} ist absolut konvergent mit Summe A.

Kurzschreibweise:

∑_{k,j} a_{k,j} = ∑_{k} ∑_{j} a_{k,j} .

Beispiel: ∑_{k,j} a_{k}b_{j}.

Satz 2.2.22 (Produktsatz für Reihen): Sind ∑ a_{k} = a und ∑ b_{k} = b absolut konvergent, so konvergiert das Cauchyprodukt der Reihen ∑ a_{k} und ∑ b_{k} gegen ab.

Beispiele werden wir bei den Potenzreihen kennenlernen.

2.3 Potenzreihen

Definition 2.3.1: Seien a_{k} ∈ C und z_{0} ∈ C. Unter einer Potenzreihe mit Entwicklungs-

punkt z_{0} versteht man eine Reihe der Gestalt ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z−z_{0})^{k}, wobei z eine komplexe Variable

oder komplexe Zahl ist.

Bemerkung: Durch eine Substitution z = x − x_{0} + z_{0} kann man offenbar den Entwicklungspunkt in den Punkt x_{0} verlagern. Wir werden daher o.B.d.A. meist als Entwicklungspunkt z_{0} = 0 nehmen.

Satz 2.3.2: Ist ∑ a_{k}z^{k} für ein z ≠ 0 konvergent, so ist für jedes x ∈ C mit |x| < |z| die Reihe ∑ a_{k}x^{k} absolut konvergent.

Definition 2.3.3: Sei ∑ a_{k}z^{k} eine Potenzreihe. Der Konvergenzradius R der Reihe ist definiert durch

R := sup{|z| | z ∈ C und ∑ a_{k}z^{k} ist konvergent } .

Satz 2.3.4: Die Potenzreihe ∑ a_{k}z^{k} habe den Konvergenzradius R. Dann gilt:

1. Für jedes x ∈ C mit |x| < R ist die Reihe ∑ a_{k}x^{k} absolut konvergent.

2. Für jedes x ∈ C mit |x| > R ist die Reihe ∑ a_{k}x^{k} divergent.

Satz 2.3.5 (Euler bzw. Cauchy-Hadamard): Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑ a_{k}x^{k}.

1. Ist a_{k} ≠ 0 für fast alle n und existiert der Grenzwert q := lim \frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} in R ∪ \{∞\}, so ist R = \frac{1}{q}.

2. Sei w := lim sup \sqrt[k]{|a_{k}|} ∈ R ∪ \{∞\}. Dann ist R = \frac{1}{w}.

Hierin ist \frac{1}{0} := ∞ und \frac{1}{∞} := 0 zu nehmen.

Satz 2.3.6: Sei ∑ a_{k}x^{k} Potenzreihe mit Konvergenzradius S und ∑ b_{k}x^{k} Potenzreihe mit Konvergenzradius T.

1. Die Summe ∑ a_{k}x^{k} + ∑ b_{k}x^{k} := ∑(a_{k} + b_{k})x^{k} hat Konvergenzradius R ≥ min{S, T }.

2. Das Produkt ∑ a_{k}x^{k}·∑ b_{k}x^{k} := ∑(∑_{i+j=k} a_{i}b_{j})x^{k} hat Konvergenzradius R ≥ min{S, T }.

Bemerkung: Sind f(x) = ∑ a_{k}x^{k}, g(x) = ∑ b_{k}x^{k} Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius und ist b_{0} ≠ 0, so kann man rekursiv die Koeffizienten der Quotientenreihe q(x) = ∑ c_{k}x^{k} := \frac{f(x)}{g(x)} aus a_{k} = ∑_{j=0}^{k} b_{j}c_{k−j} berechnen. Der Konvergenzradius von q(x) ist dann > 0.

Satz 2.3.7 (und Definition): Die Exponentialreihe

exp(x) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!}

konvergiert absolut für alle x ∈ C. Für x, y ∈ C gilt

exp(x + y) = exp(x) exp(y) .

Proposition 2.3.8: Es ist exp(x) = lim_{n→∞}(1 + \frac{x}{n})^{n}. Insbesondere ist exp(1) = e und exp(x) = e^{x} für x ∈ R.

Beweis: Sei y := |x| und sei ε > 0. Es gibt ein N ∈ N mit |∑_{k>N} \frac{y^{k}}{k!} | < ε. Sei n > N. Es

wird E := (1 + \frac{x}{n})^{n} − exp(x) = A + B − C mit

A = ∑_{k=0}^{N} (\binom{n}{k}\frac{x^{k}}{n^{k}} − \frac{x^{k}}{k!} ) , B = ∑_{k=N+1}^{n} \binom{n}{k}\frac{x^{k}}{n^{k}} , C = ∑_{k>N} \frac{x^{k}}{k!} .

Nun ist \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} für 0 ≤ k ≤ 1; für k > 1 wird aber

\frac{1}{k!} − \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = \frac{1}{k!} (1 − \frac{n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)}{n^{k}}) = \frac{1}{k!} (1 − (1 − \frac{1}{n}) · . . . · (1 − \frac{k − 1}{n})) .

Insbesondere ist stets \binom{n}{k} \frac{1}{n^{k}} ≤ \frac{1}{k!}.

Es folgt

|A| ≤ ∑_{k=2}^{N} (1 − (1 − \frac{1}{n})(1 − \frac{2}{n}) … (1 − \frac{k − 1}{n})) \frac{y^{k}}{k!} ,

und es gibt ein n_{0}, so daß dies < ε wird für n > n_{0}. Für |B| und |C| erhalten wir die obere Abschätzung

max\{|B|, |C|\} ≤ ∑_{k>N} \frac{y^{k}}{k!} < ε .

Damit wird |E| < 3ε für n > max{N, n_{0}}.

Es reicht, die Beziehung exp(x) = e^{x} für x ∈ R_{+} zu beweisen. Aus der Funktionalgleichung von exp folgt aber leicht, daß sie für x ∈ Q_{+} gilt. Aus der Monotonie von exp folgt nun exp(x) = e^{x} für x ∈ R wegen lim e^{r_{n}} = e^{x} = lim e^{s_{n}} für rationale Folgen r_{n} ↗ x und s_{n} ↘ x. □