Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 12 Abgabe: 01.02.08 10 Uhr

Aufgabe 1: Sei I ⊂ ℝ ein Intervall und f: I → ℝ eine n-mal differenzierbare Funktion. In a ∈ I existiere (f^{(n)})′(a) =: f^{(n+1)}(a). Es sei T_{k}(f; a) das k-te Taylorpolynom von f zur Stelle a.

(a) Sei r(x) für x ≠ a definiert durch

f(x) − T_{n+1}(f; a)(x) = r(x)(x − a)^{n+1} .

Zeigen Sie: lim_{x→a} r(x) = 0. [Hinweis: Benutzen Sie die Regel von l’Hôpital.]

(b) Sei f′(a) = … = f^{(n)}(a) = 0, aber f^{(n+1)}(a) ≠ 0. Zeigen Sie: Ist n + 1 gerade, so hat f bei a ein strenges lokales Extremum, und ist n + 1 ungerade, so hat f bei a einen strengen Wendepunkt.

Aufgabe 2: Finden Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen

(a) \frac{2x^{3} − 2x + 1}{\sqrt{x}}  (b) x^{2} cos(x^{3})  (c) \frac{x}{cos^{2}(x)}
(d) \frac{x + 2}{x^{3} − x^{2}}  (e) \frac{1}{cos(x)}

Aufgabe 3: Bestimmen Sie für n ∈ ℕ das Integral ∫_{0}^{π/2} cos^{n}(x) dx.

Aufgabe 4: (a) Seien m, n ∈ ℕ. Zeigen Sie:

∫_{0}^{1} x^{m}(1 − x)^{n} dx = ∫_{0}^{1} x^{n}(1 − x)^{m} dx .

(b) Sei x > 0. Zeigen Sie:

∫_{x}^{1} \frac{dt}{1 + t^{2}} = ∫_{1}^{1/x} \frac{dt}{1 + t^{2}} .

(c) Sei f: [a, b] → ℝ integrierbar. Zeigen Sie:

∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(a + b − x) dx .