Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 11 Abgabe: 25.01.08 10 Uhr Aufgabe 1: Sei n ∈ ℕ_{+}. Bestimmen Sie durch Induktion über n die n-ten Ableitungen der folgenden Funktionen.

(a) f: ℝ → ℝ, f(x) = x^{k} (k ∈ ℤ)

(b) g: ℝ − \{\frac{p}{q}\} → ℝ. g(x) = \frac{1}{p − qx}, p, q ∈ ℝ, q ≠ 0

(c) h: ℝ − \{a\} → ℝ, h(x) = \frac{1}{x^{2} − a^{2}}

Aufgabe 2: (a) Seien f, g: D → ℝ zwei n-mal differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie:

(f · g)^{(n)}(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x) .

(b) Sei f: ℝ → ℝ differenzierbar. Ferner sei f_{1} := f und f_{n} := f ∘ f_{n−1} für n > 1. Bestimmen Sie die Ableitungen aller Funktionen f_{k}. Sei a ∈ ℝ ein Punkt mit f(a) = a. Wie lautet der Wert der Ableitung f′_{k}(a)?

Aufgabe 3: Bestimmen Sie die Taylorreihen T (f; a) der folgenden Funktionen. Geben Sie zu jeder Reihe den Konvergenzradius an.

(a) f(x) = x^{4} − 2x^{3} + 1, a = 1;

(b) f(x) = cos^{2}(x), a = 0;

(c) f(x) = xe^{x}, a = 0.

Aufgabe 4: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Extrema und Wendepunkte.

(a) f: [1, 3] → ℝ, f(x) = x^{\frac{1}{x}};

(b) f: ]0, ∞[ → ℝ, f(x) = x^{a}e^{−x}, a ∈ ℝ, a > 0;

(c) f: [0, 2π] → ℝ, f(x) = cos(nx) + sin(nx), n ∈ ℕ.