Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 10 Abgabe: 18.01.08 10 Uhr

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der folgenden Funktionen und berechnen Sie ihre Ableitungen. Geben Sie in jedem Schritt die verwendete Ableitungsregel an.

(a) f(x) = \frac{x}{1 + x^{2}}

(b) g(x) = (x^{2} − 1)^{x^{2}+1}

(c) h(x) = log( − log(cos x))

Aufgabe 2: (a) Sei f: ]0, ∞[ → ℝ definiert durch f(x) = e^{1−x^{2}}. Zeigen Sie, daß ]0, ∞[ von f bijektiv auf ]0, e[ abgebildet wird und bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion.

(b) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen arcsin(x) und arctan(x).

Aufgabe 3: (a) Benutzen Sie den Mittelwertsatz, um die folgenden Abschätzungen zu beweisen.

(i) \sqrt{1 + x} < 1 + \frac{x}{2} für x > 0,

(ii) 1 + x < e^{x} < \frac{1}{1 − x} für 0 < x < 1.

(b) Sei p > 0. Zeigen Sie, daß das Polynom x^{3} + px + q genau eine reelle Nullstelle hat.

Aufgabe 4: (a) Seien a, b ∈ ℝ und f, g: [a, b] → ℝ differenzierbare Funktionen mit g′ ≠ 0. Es gelte lim_{x→b} f(x) = 0 = lim_{x→b} g(x) oder lim_{x→b} f(x) = ∞ = lim_{x→b} g(x). Zeigen Sie:

lim_{x→b} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→b} \frac{f′(x)}{g′(x)} ,

falls der rechts stehende Grenzwert existiert.

(b) Seien f, g: [a, ∞[→ ℝ differenzierbar mit g′ ≠ 0. Zeigen Sie die zu (a) analoge Aussage für die Grenzwerte x → ∞.

(c) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(i) lim_{x→∞}(1 + \frac{1}{x})^{x},

(ii) lim_{x→0} \frac{x + sin x}{x},

(iii) lim_{x→∞} \frac{x + sin x}{x}.