Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 9 Abgabe: 11.01.08 10 Uhr Aufgabe 1: (a) Sei f: [a, b] → ℝ eine stetige Funktion mit f([a, b]) ⊂ [a, b]. Zeigen Sie:

Es gibt ein ξ ∈ [a, b] mit f(ξ) = ξ.

(b) Sei U ⊂ ℝ offen und f: U → ℝ eine stetige Funktion, die in U ihr Maximum annimmt. Zeigen Sie, daß f nicht injektiv sein kann.

Aufgabe 2: Seien f_{n}: ℝ → ℝ definiert durch f_{n}(x) = \begin{cases}0 & für |x| > \frac{1}{n}, \\ 1 − nx & für 0 < x ≤ \frac{1}{n}, \\ 1 + nx & für −\frac{1}{n} ≤ x ≤ 0. \end{cases}

Zeigen Sie:

(a) Jedes f_{n} ist stetig, und für alle n und alle x gilt 0 ≤ f_{n}(x) ≤ 1.

(b) Für jedes x konvergiert die Folge (f_{n}(x))_{n}. Definiere f: ℝ → ℝ durch f(x) := lim_{n→∞} f_{n}(x). Ist f stetig an der Stelle 0?

Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften der Hyperbelfunktionen: (i) cosh^{2}(x) − sinh^{2}(x) = 1, (ii) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y), sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y).

(b) Zeigen Sie, daß die folgenden Abbildungen bijektiv sind:

sinh(x): ℝ ⟶ ℝ
cosh(x): [0, ∞[ ⟶ [1, ∞[
tanh(x): ℝ ⟶]− 1, 1[

Aufgabe 4: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit.

(a) f_{1} : ℝ → ℝ, f_{1}(x) = |x|.

(b) f_{2} : ℝ → ℝ, f_{2}(x) = x|x|.

(c) f_{3} : ℝ → ℝ, f_{3}(x) = \begin{cases}x sin(\frac{1}{x}) & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0. \end{cases}

(d) f_{4} : ℝ → ℝ, f_{4}(x) = \begin{cases}x^{2} sin(\frac{1}{x}) & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0. \end{cases}