Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 8 Abgabe: 21.12.07, 10 Uhr Aufgabe 1: Formulieren Sie Definitionen der Aussage lim_{x→x_{∗}} f(x) = a für

(a) x_{∗} ∈ ℝ, a = ∞,

(b) x_{∗} = ∞, a ∈ ℝ,

(c) x_{∗} = ∞, a = ∞.

Aufgabe 2: Bestimmen Sie die (eventuell uneigentlichen) Grenzwerte

(a) lim_{x→∞} x^{−k}e^{x} ,  (b) lim_{x→∞} x^{k}e^{−x} ,  (c) lim_{x↘0} x^{k}e^{\frac{1}{x}} ,  (d) lim_{x→−∞} \frac{e^{e^{x}} − 1}{e^{x}} .

Aufgabe 3: Sei f: ℝ → ℝ eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

(i) f(x + y) ≤ f(x) · f(y) für alle x, y ∈ ℝ, (ii) f(0) = 1, (iii) f ist an der Stelle 0 stetig. Zeigen Sie, daß f auf ganz ℝ stetig ist.

Aufgabe 4: (a) Sei f: [0, 1] → ℝ eine stetige Funktion, die nur abzählbar viele Werte

annimmt. Zeigen Sie: f ist konstant.

(b) Sei f: ℝ → ℝ gegeben durch f(x) = sup{k ∈ ℤ | k ≤ x}. An welchen Stellen ist f stetig?