Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 7 Abgabe: Freitag, 14.12.07, 10 Uhr (!)

Aufgabe 1: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Potenzreihen.

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{2^{k}}{k^{2}} x^{k}  (b) ∑_{k=2}^{∞} 2^{\binom{k}{2}}x^{k}  (c) ∑_{k=0}^{∞} \binom{2k}{k}x^{3k}  (d) ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k^{2}}}{2^{k}}

Aufgabe 2: Sei n ∈ ℕ_{+} und f(x) = ∑_{k=0}^{n} x^{k}. Finden Sie eine Potenzreihe g(x) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}x^{k}

mit f(x)g(x) = 1 und untersuchen Sie ihr Konvergenzverhalten.

Aufgabe 3: Seien E ⊂ D Teilmengen von ℝ und f: D → ℝ eine Funktion.

(a) Zeigen Sie: Ist x_{∗} ein Häufungspunkt von E, so ist x_{∗} auch Häufungspunkt von D. Geben Sie ein Gegenbeispiel für die umgekehrte Implikation.

(b) Sei x_{∗} ein Häufungspunkt von E. Zeigen Sie:

lim_{\begin{matrix}x→x_{∗} \\ x∈D \end{matrix}} f(x) = a ⟹ lim_{\begin{matrix}x→x_{∗} \\ x∈E \end{matrix}} f(x) = a .

(c) Finden Sie ein Beispiel mit lim_{x↘x_{∗}} f(x) ≠ lim_{x↗x_{∗}} f(x).

Aufgabe 4: In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f: ℝ → ℝ stetig?

(a) f(x) = \begin{cases}|x|^{−1}x & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0. \end{cases}

(b) f(x) = \begin{cases}x & für x ∈ ℚ, \\ x^{2} & für x ∈ ℝ − ℚ. \end{cases}

(c) f(x) = \begin{cases}\frac{1}{2^{k}} & für x = \frac{2n + 1}{2^{k}}, n ∈ ℤ, k ∈ ℕ, \\ 0 & sonst. \end{cases}