Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 6 Abgabe: Freitag, 7.12.07

Aufgabe 1: Sei (a_{k}) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen Sie: Die Reihe ∑ a_{k} konvergiert genau dann, wenn die Reihe ∑ 2^{k}a_{2^{k}} konvergiert.

Aufgabe 2: (a) Sei (a_{k}) eine monoton wachsende Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen

Sie: die Reihe ∑_{k≥1}(\frac{a_{k+1}}{a_{k}} − 1) konvergiert genau dann, wenn (a_{k}) beschränkt ist.

(b) Für welche a ∈ ℝ (a ∈ ℂ) konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞}(a^{k} − a^{k−1}), und falls sie konver-

giert, was ist der Grenzwert?

Aufgabe 3: Sei (a_{k}) eine Folge positiver reeller Zahlen und ∞ ; ∑_{k=1}a_{k} = ∞. Was läßt sich

über die Konvergenz der folgenden Reihen aussagen?

\begin{matrix}(a) & ∑ \frac{a_{k}}{1 + a_{k}} & (c) & ∑ \frac{a_{k}}{1 + k^{2}a_{k}} \\ (b) & ∑ \frac{a_{k}}{1 + ka_{k}} & (d) & ∑ \frac{a_{k}}{1 + a_{k}^{2}} \end{matrix}

Aufgabe 4: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz.

\begin{matrix}(a) & ∑_{k≥1} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!} & (c) & ∑_{k≥1}(\sqrt[k]{3} − 1)^{k} \\ (b) & ∑_{k≥1}(−1)^{k} \frac{2 + (−1)^{k}}{k} & (d) & ∑_{k≥0}(−1)^{k} \frac{k + 1}{2k\sqrt{k}} \end{matrix}

Aufgabe 5: Sei ∑ a_{k} eine Reihe. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Konvergiert ∑ a_{k}, so auch ∑ a_{k}^{2}.

(b) Konvergiert ∑ a_{k} absolut, so auch ∑ a_{k}^{2}.