Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 5 Abgabe: Freitag, 30.11.07

Aufgabe 1: (a) Es sei (a_{n}) eine monotone Folge. Beweisen Sie: jeder Häufungswert von (a_{n}) ist auch Grenzwert von (a_{n}).

(b) Sei n ↦ a_{n} eine Anordnung von ℚ. Zeigen Sie, daß jede reelle Zahl Häufungswert der Folge (a_{n}) ist.

Aufgabe 2: Sei f: ℝ → ℝ eine Abbildung, so daß für ein C ∈ ℝ mit 0 ≤ C < 1 gilt: |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y| für alle x, y ∈ ℝ. Für a ∈ ℝ sei die Folge (z_{n}) definiert durch z_{0} = a und z_{n+1} = f(z_{n}). Beweisen Sie:

(a) |z_{n+1} − z_{n}| ≤ C^{n}|z_{1} − z_{0}|.

(b) (z_{n}) ist eine Cauchy-Folge.

(c) Sei z = lim z_{n}. Dann gilt f(z) = z.

(d) z ist unabhängig von a.

Aufgabe 3: Sei (a_{n}) eine Folge reeller Zahlen.

(a) Seien (a_{φ(k)}) und (a_{ψ(k)}) zwei konvergente Teilfolgen mit {φ(k) | k ∈ ℕ} ∪ {ψ(k) | k ∈ ℕ} = ℕ. Zeigen Sie: haben die beiden Teilfolgen den gleichen Grenzwert a, so konvergiert auch (a_{n}) gegen a.

(b) Es seien (a_{2n}), (a_{2n+1}) und (a_{3n}) konvergent. Konvergiert dann auch (a_{n})? (Beweis oder Gegenbeispiel)

Aufgabe 4: Sei ∑ a_{k} die Reihe, die aus der harmonischen Reihe entsteht, wenn man sämtliche Glieder streicht, deren Nenner in Dezimalschreibweise die Ziffer 9 enthält. Konvergiert diese Reihe?

Aufgabe 5: Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz.

\begin{matrix}(a) & ∑_{k≥1}(\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}) & (c) & ∑_{k≥1}(k(k + 1)(k + 2))^{−1} \\ (b) & ∑_{k≥1} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}}{k} & (d) & ∑_{k≥0}(\frac{k}{2k + 1})^{k} \end{matrix}