Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 4 Abgabe: Freitag, 23.11.07

Aufgabe 1: Sei y eine reelle Zahl mit 0 < y < 1. Beweisen Sie durch Induktion über n die folgenden Ungleichungen:

(1 − y)^{n} ≤ \frac{1}{1 + ny}  (1)
∑_{k=−n}^{n} y^{k} ≥ 2n + 1  (2)

Aufgabe 2: Sei (a_{n}) eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Seien die Folgen (b_{m}), (c_{m}) definiert durch b_{m} := sup{a_{n} | n ≥ m} sowie c_{m} := inf{a_{n} | n ≥ m}. Zeigen Sie:

(a) Die Folgen (b_{m}) und (c_{m}) sind konvergent.

(b) (a_{n}) konvergiert genau dann, wenn lim_{m→∞} b_{m} = lim_{m→∞} c_{m} ist.

Aufgabe 3: (a) Sei (a_{n}) eine gegen a konvergente Folge positiver reeller Zahlen. Sei r ∈ ℚ_{+}. Zeigen Sie

lim_{n→∞}(a_{n})^{r} = a^{r} .

(b) Seien (a_{n}) und (b_{n}) zwei Folgen mit a_{n} ≥ b_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ. Sei s_{n} := a_{n} + b_{n}, d_{n} := a_{n} −b_{n} und p_{n} := a_{n}b_{n}. Beweisen Sie: Konvergieren zwei der drei Folgen (s_{n}), (d_{n}), (p_{n}), so auch die dritte.

Aufgabe 4: Zeigen Sie, daß die unten angegebenen Rekursionsformeln wohldefinierte Folgen liefern. Untersuchen Sie diese Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

\begin{matrix}(a) & x_{n+1} = \frac{x_{n}}{1 + x_{n}} , x_{0} = a > 0 & (b) & x_{n+1} = \frac{2 + x_{n}}{1 + x_{n}} , x_{0} = a > 0 \\ (c) & x_{n+1} = −\frac{1 + x_{n}}{x_{n}} , x_{0} = a > 0 & (d) & x_{n+1} = \frac{1}{2}(a + x_{n}^{2}), x_{0} = a ∈]0, 1[ \end{matrix}