Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 3 Abgabe: Freitag, 16.11.07

Aufgabe 1: Bestimmen Sie Supremum und Infimum der folgenden Mengen:

\begin{matrix}A = \{x ∈ ℝ | |x^{2} − 9| < 1\} & C = ⋂_{n∈ℕ}\{x ∈ ℝ | |x − \frac{1}{n} | ≤ \frac{3}{n}\} \\ B = ⋃_{n∈ℕ}\{x ∈ ℝ | \frac{1}{n} − 1 ≤ x ≤ 1 − \frac{1}{n}\} & D = \{\frac{2^{n}}{n!} | n ∈ ℕ\} \end{matrix}

Aufgabe 2: Seien A und B beschränkte Teilmengen von ℝ. Zeigen Sie:

(a) sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}

(b) Die Menge C := {x | x = y + z mit y ∈ A und z ∈ B} ist beschränkt und es gilt

sup C = sup A + sup B.

(c) Sei A ∩ B ≠ ∅. Dann ist sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B}.

Aufgabe 3: (a) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen:

(i) \frac{1}{1 + 2i} ,  (ii) \frac{2i + 3}{1 − 5i} ,  (iii) (\frac{1 − i}{1 + i})^{k}, k ∈ ℤ .

(b) Es seien a, z ∈ ℂ mit |a| < 1. Zeigen Sie: |\frac{z − a}{1 − \overline{a}z} | < 1 ⟺ |z| < 1.

Aufgabe 4: Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(a) a_{n} = 2^{n} · n^{−2}  (c) a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}
(b) a_{n} = n(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − \sqrt{1 − \frac{1}{n}})  (d) a_{n} = \sqrt[n]{n(n + 1) ⋯ (n + k)}, k ∈ ℕ fest

Aufgabe 5: (a) Zeigen Sie: Jede Folge reeller Zahlen enthält eine monotone Teilfolge.

(b) Konstruieren Sie eine Nullfolge (x_{n}) und geeignete Folgen (a_{n}), (b_{n}), (c_{n}) und (d_{n}), so daß gilt: (x_{n} · a_{n}) ist eine Nullfolge, (x_{n} · b_{n}) konvergiert gegen 1, (x_{n} · c_{n}) ist unbeschränkt, und (x_{n} · d_{n}) ist beschränkt, aber nicht konvergent.