Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 2 Abgabe: Freitag, 9.11.07

Aufgabe 1: Beweisen Sie: für jede natürliche Zahl n gilt

(a) ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6},

(b) ∑_{i=1}^{n} i^{3} = (∑_{j=1}^{n} j)^{2}.

Aufgabe 2: Berechnen Sie für natürliche Zahlen m, n und q:

(a) ∑_{i=0}^{n} q^{i} , (b) ∑_{i=0}^{m} ∑_{j=0}^{n} 2^{i+j} .

Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie: für je n reelle Zahlen a_{1}, a_{2}, …, a_{n} gelten die Ungleichungen

|a_{1}| − ∑_{i=2}^{n} |a_{i}| ≤ | ∑_{i=1}^{n} a_{i}| ≤ ∑_{i=1}^{n} |a_{i}| .

(b) Seien m, n positive natürliche Zahlen. Wann ist ∑_{i=1}^{m} a_{i} + ∑_{j=m+1}^{n} a_{j} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} ?

Aufgabe 4: (a) Zeigen Sie, daß für je n nichtnegative reelle Zahlen x_{1}, …, x_{n} gilt:

∏_{k=1}^{n}(1 + x_{k}) ≥ 1 + ∑_{k=1}^{n} x_{k} .

(b) Zeigen Sie, daß obige Ungleichung auch gilt, falls −1 ≤ x_{k} ≤ 0 für alle k ist.

Aufgabe 5: Sei M eine Menge. Zeigen Sie: es gibt keine surjektive Abbildung

g: M → 𝒫(M) .

[Hinweis: Betrachten Sie die Menge {x ∈ M | x ∉ g(x)}.]