Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften

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Übungen Analysis I Wintersemester 2007/2008

Blatt 1 Abgabe: Freitag, 2.11.07 Aufgabe 1: Seien A, B und C Mengen. Zeigen Sie:

(a) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(c) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)

Aufgabe 2: Jedes alte Schwein ist gefräßig und jedes gesunde Schwein ist gefräßig. Auf einem Bauernhof gibt es sowohl gefräßige als auch nicht gefräßige Schweine. Welche der nachfolgenden Schlußfolgerungen sind zulässig?

(a) Es gibt sowohl alte als auch junge Schweine auf dem Hof.

(b) Es gibt junge Schweine auf dem Hof.

(c) Alle nicht gefräßigen Schweine sind jung.

(d) Einige junge Schweine sind krank.

(e) Alle jungen Schweine sind krank.

Aufgabe 3: Negieren Sie die folgenden Aussagen:

(a) Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so daß für x, y ∈ ℝ gilt: |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.

(b) Zu jeder Menge M gibt es eine Menge N mit M ⊂ N, so daß keine surjektive Abbildung von M nach N existiert.

Aufgabe 4: Es sei X eine nichtleere Menge, und f, g : X → X seien Abbildungen mit g ∘ f = id_{X}. Zeigen Sie:

(a) f ist injektiv und g ist surjektiv.

(b) Ist X endlich, so sind f und g bijektiv.

(c) Finden Sie Abbildungen f, g : ℕ → ℕ mit folgenden Eigenschaften: f ist nicht surjektiv, g ist nicht injektiv und g ∘ f = id_{ℕ}.

Aufgabe 5: Es seien X, Y Mengen und f: X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) f ist genau dann surjektiv, wenn für alle B ⊂ Y gilt: f(f^{−1}(B)) = B.

(b) f ist genau dann injektiv, wenn für alle A ⊂ X gilt: f^{−1}(f(A)) = A.