Dies mindert allerdings nicht die Bedeutung von Bolyais unglaublicher Leistung. Diese besteht darin, dass Bolyai zwar ähnliche Wege wie manche Vorgänger gegangen war, aber im Gegensatz zu diesen die neue Geometrie für möglich hielt. Auch die 1829 von Nikolai Ivanowitsch Lobatschewski veröffentlichte Abhandlung über nichteuklidische Geometrie ändert nichts an dieser Wertung. Weder Gauss noch Bolyai kannten Lobatschewskis Veröffentlichung, da sie erst einmal nur auf Russisch im Kasaner Boten publiziert worden war. Lobatschewskis Versuch, ein breiteres Publikum zu erreichen, war nämlich gescheitert, da der Mathematiker Ostrogradski die Arbeit in einem Gutachten ablehnte.

So ging es Lobatschewski denn auch nicht besser als Bolyai, was die öffentliche Anerkennung seiner bedeutsamen Arbeit angeht. Er publizierte 1840 seine 61seitigen Geometrischen Untersuchungen zur Theorie der Parallelen und erlebte es auch, dass ein 37seitiger Bericht darüber in französischer Sprache für eine breitere Leserschaft in Crelles Journal zur Mathematik erschien. Die Mathematikergemeinde war damals jedoch noch nicht reif dafür, derart revolutionäre Ideen zu akzeptieren.

In seinem Büchlein aus dem Jahr 1840 macht Lobatschewski klar, wie seine nichteuklidische Geometrie "funktioniert":

Alle Geraden, die in einer Ebene von einem Punkt ausgehen, können bezüglich einer (nicht durch diesen Punkt gehenden) Geraden  in zwei Klassen geteilt werden - in schneidende und nichtschneidende. Die Grenzgeraden dieser beiden Klassen sollen Parallelen zur gegebenen Geraden genannt werden.
  Die erklärende Skizze dazu ist:


Dies entspricht dem Ersetzen des fünften Postulats durch:

Lobatschewskisches Parallelenpostulat

Zu einer gebenen Geraden und einem nicht darauf liegenden Punkt gibt es zwei Parallelen durch diesen Punkt.


 

Lobatschewki arbeitete weiter und leitete viele trigonometrische Beziehungen für Dreiecke her, die in seiner Geometrie gültig waren. Er zeigte dabei, dass sich die euklidischen Beziehungen als Grenzfall ergaben, wenn die Dreieckseitenlängen alle gegen Null gehen.
 
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