Euklids fünftes
Postulat ist c). Saccheri zeigte, dass die Stumpfwinkelhypothese
das fünfte Postulat nach sich zieht, und erhielt
damit
für diesen Fall einen Widerspruch. Anschließend untersuchte
Saccheri
die Spitzwinkelhypothese und
folgerte
aus ihr viele Sätze der nichteuklidischen
Geometrie ohne zu bemerken, was er da eigentlich "trieb". Es gelang ihm
erst,
einen Widerspruch aus der Spitzwinkelhypothese herzuleiten, als er die
(unzulässige!)
Annahme machte, dass es einen "unendlich fernen Punkt" gibt.
1766
verfolgte Johann
Heinrich
Lambert eine ähnliche Beweislinie wie Saccheri. Er verfiel
jedoch
nicht dem Trugschluss von Saccheri und untersuchte die
Spitzwinkelhypothese
ohne die Herleitung eines Widerspruchs. Lambert stellte fest,
dass
in einer solchen neuen Geometrie die Innenwinkelsumme eines Dreiecks
mit
kleiner werdendem Flächeninhalt des Dreiecks wächst.
Adrien-Marie
Legendre (1752-1833) arbeitete 40 Jahre seine Lebens am Problem des
Parallelenaxioms.
Seine Resultate finden sich als Anhänge zu den verschiedenen
Auflagen
seines höchst erfolgreichen Buches Eléments de
Géométrie. Legendre bewies, dass Euklids
fünftes Postulat äquivalent ist zu:
Die Innenwinkelsumme im Dreieck ist gleich zwei rechten
Winkeln.
Legendre zeigte wie schon
Saccheri über 100 Jahre zuvor, das die Winkelsumme im Dreieck
nicht größer als zwei Rechte sein kann. Wie Saccheri
brauchte er
dazu die Unendlichkeit von Geraden. Beim Versuch, die
Unmöglichkeit einer
Winkelsumme unter 180
zu beweisen, machte Legendre folgende Annahme:
(L)
Durch
jeden Punkt im Inneren eines
Winkelfeldes kann man eine Gerade legen, die beide Schenkel trifft.
Dies ist wiederum nur ein
Äquivalent zum
Parallelenaxiom. Legendre bemerkte diesen Trugschluss nie.
Die Elementargeometrie wurde in
diesen Jahren völlig von der Problematik des Parallelenaxioms
überschattet. Jean Le Rond d'Alembert nannte
dies 1767 den
Skandal
der Elementargeometrie.