3. Modelle der hyperbolischen Geometrie


Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), der seine Dissertation unter der Aufsicht von Gauss geschrieben hatte und nach Annahme seiner Habilitationsschrift eine Probevorlesung halten musste, formulierte am 10 Juni 1854 in dieser Vorlesung das ganze Konzept der Geometrie neu. Er sah dabei die Geometrie als einen Raum mit genug Zusatzstruktur an, um etwas wie Längen messen zu können.
Diese Vorlesung wurde erst 1868, also zwei Jahre nach Riemanns Tod, veröffentlicht und hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf die Entwicklung einer Vielzahl neuer Geometrien. Riemann hatte z.B. in Kurzform auch eine 'sphärische' Geometrie diskutiert, in der jede Gerade  durch einen  Punkt P außerhalb einer Geraden AB die Gerade AB schneidet. In dieser  Geometrie gibt es überhaupt keine Parallelen.

Wichtig ist, dass weder Bolyais noch Lobatschewskis Beschreibungen ihrer neuen Geometrien auf Widerspruchsfreiheit geprüft worden waren. Das galt zwar auch für die Euklidische Geometrie, doch hier waren die Mathematiker wegen der  Jahrhunderte langen Erfahrungen mit der Euklidischen Geometrie davon überzeugt, dass wohl keine Widersprüche mehr in dieser Geometrie aufgedeckt würden.

Der erste, der die Bolyai - Lobatschewskische nichteuklidische Geometrie auf das gleiche Fundament wie die Euklidische  Geometrie stellte, war Eugenio Beltrami (1835-1900). Er schrieb 1868 eine Veröffentlichung mit dem Titel Aufsatz zur Interpretation der nichteuklidischen Geometrie, in der er ein Modell der 2-dimensionalen nichteuklidischen Geometrie innerhalb der 3-dimensionalen  Euklidischen Geometrie angab. Das Modell war auf der Rotationsfläche einer Traktrix um ihre Asymptote definiert. Diese Fläche wird manchmal auch Pseudo-Sphäre genannt.

Beltramis Modell ist zwar unvollständig, es ermöglichte aber sicherlich eine endgültige Entscheidung über das fünfte Postulat von Euklid, da in diesem Modell die ersten vier Postulate galten, das fünfte jedoch nicht.
 
 
 
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