1. Euklids Postulate
Um 300
v. Chr. schrieb Euklid die Elemente,
die als eines der berühmtesten jemals geschriebenen Bücher
gelten
können. Euklid formulierte fünf Postulate, auf
die er alle seine Sätze gründete:
Gefordert
soll sein:
1. Dass man von jedem Punkt nach jedem (anderen) Punkt die Strecke
ziehen
kann,
2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade
verlängern
kann,
3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind.
5.
Postulat :
Wenn
eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass
innen
auf
derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei
Rechte
werden, dann müssen
die
zwei geraden Linien bei
Verlängerung ins Unendliche
sich auf der
Seite
treffen, auf der die
beiden Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
Offensichtlich
unterscheidet sich das fünfte Postulat von den anderen vier. Auch
Euklid
war nicht mit ihm zufrieden und versuchte, so lange wie möglich
ohne
es auszukommen. Tatsächlich konnte er die ersten 28 Propositionen
in
den Elementen ohne es beweisen. Offensichtlich nahm Euklid (und viele
Autoren
nach ihm) an, dass Geraden keine endlich langen Linien sind. Die
Griechen
verstanden darunter allerdings nur so etwas, wie eine "beliebig
verlängerbare
Strecke".
Proklus
(410-485 n. Chr.) schrieb einen Kommentar zu den Elementen,
in dem er auch auf Versuche einging, das fünfte Postulat aus den
anderen
vier herzuleiten. Insbesondere merkte er an, dass Ptolemäus
einen fehlerhaften Beweis geliefert hätte. Danach formulierte er
allerdings
selber einen falschen Beweis. Immerhin stellte er darin eine Forderung
auf, die äquivalent zum fünften Postulat ist. Sie
lautet
in heutiger Sprechweise:
Parallelenaxiom:
Gegeben
eine Gerade und ein nicht auf dieser Geraden liegender Punkt, dann gibt
es genau eine Parallele zu dieser Geraden durch den gegebenen Punkt.