Wichtig ist, dass weder Bolyais noch Lobatschewskis Beschreibungen ihrer neuen Geometrien auf Widerspruchsfreiheit geprüft worden waren. Das galt zwar auch für die Euklidische Geometrie, doch hier waren die Mathematiker wegen der Jahrhunderte langen Erfahrungen mit der Euklidischen Geometrie davon überzeugt, dass wohl keine Widersprüche mehr in dieser Geometrie aufgedeckt würden.
Der erste, der die Bolyai - Lobatschewskische nichteuklidische Geometrie auf das gleiche Fundament wie die Euklidische Geometrie stellte, war Eugenio Beltrami (1835-1900). Er schrieb 1868 eine Veröffentlichung mit dem Titel Aufsatz zur Interpretation der nichteuklidischen Geometrie, in der er ein Modell der 2-dimensionalen nichteuklidischen Geometrie innerhalb der 3-dimensionalen Euklidischen Geometrie angab. Das Modell war auf der Rotationsfläche einer Traktrix um ihre Asymptote definiert. Diese Fläche wird manchmal auch Pseudo-Sphäre genannt.
Beltramis
Modell ist zwar unvollständig, es ermöglichte aber sicherlich
eine endgültige Entscheidung über das fünfte Postulat
von
Euklid, da in diesem Modell die ersten vier Postulate galten, das
fünfte
jedoch nicht.
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