2. Beweisversuche

In der Folgezeit wurden viele vergebliche Versuche unternommen, das fünfte Postulat aus den übrigen vier herzuleiten. Viele dieser Versuche galten sogar längere Zeit als erfolgreich. In jedem der Fälle wurde jedoch schließlich eine unzulässige Annahme aufgedeckt. Diese Fehler liefen alle darauf hinaus, dass ein "offensichtlicher" Sachverhalt mit herangezogen wurde, der nicht aus den vier anderen Postulaten zu folgern ist und äquivalent zum fünften Postulat ist. So dachte z.B.  1663 John Wallis, er hätte einen Beweis gefunden. Tatsächlich hatte er nur gezeigt, dass das fünfte Postulat zu folgender Forderung äquivalent ist:
Zu jedem Dreieck gibt es ein ähnliches Dreieck beliebig vorgegebener Größe.
Der 1697 von GirolamoSaccheri aufgestellte Beweis ist insofern wichtiger als die meisten anderen, als Saccheri einen Widerspruch aus der Annahme herleiten wollte, das fünfte Postulat sei falsch. Er verwendete dazu folgende Beweisfigur:
 
Saccheri bewies, dass in dieser Figur die "Gipfelwinkel" bei D und C gleich groß sind. Im Beweis werden nur Eigenschaften kongruenter Dreiecke verwendet, die Euklid in den Propositionen 4 und 8 ohne Verwendung des fünften Postulats gezeigt hatte. 

Saccheri unterschied danach drei Fälle:

a) Die Gipfelwinkel sind  > 90degrees (Stumpfwinkelhypothese).

b) Die Gipfelwinkel sind  < 90degrees (Spitzwinkelhypothese).

c) Die Gipfelwinkel sind  = 90degrees (Rechtwinkelhypothese).

 
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