1. Euklids Postulate

Um 300 v. Chr. schrieb Euklid die Elemente, die als eines der berühmtesten jemals geschriebenen Bücher gelten können. Euklid formulierte fünf Postulate, auf die er alle seine Sätze gründete:

     Gefordert  soll sein:
       1. Dass man von jedem Punkt nach jedem (anderen) Punkt die Strecke ziehen kann,
       2. Dass man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann,
       3. Dass man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis zeichnen kann,
       4. Dass alle rechten Winkel einander gleich sind.
       5. Postulat : Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, dass innen auf
           derselben Seite entstehende Winkel zusammen  kleiner als zwei Rechte werden, dann müssen
           die
  zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich auf der Seite treffen, auf der die
           beiden Winkel liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.

Offensichtlich unterscheidet sich das fünfte Postulat von den anderen vier. Auch Euklid war nicht mit ihm zufrieden und versuchte, so lange wie möglich ohne es auszukommen. Tatsächlich konnte er die ersten 28 Propositionen in den Elementen ohne es beweisen. Offensichtlich nahm Euklid (und viele Autoren nach ihm) an, dass Geraden keine endlich langen Linien sind. Die Griechen verstanden darunter allerdings nur so etwas, wie eine "beliebig verlängerbare Strecke".

Proklus (410-485 n. Chr.) schrieb einen Kommentar zu den Elementen, in dem er auch auf Versuche einging, das fünfte Postulat aus den anderen vier herzuleiten. Insbesondere merkte er an, dass Ptolemäus einen fehlerhaften Beweis geliefert hätte. Danach formulierte er allerdings selber einen falschen Beweis. Immerhin stellte er darin eine Forderung auf, die  äquivalent zum fünften Postulat ist. Sie lautet in heutiger Sprechweise:

Parallelenaxiom: Gegeben eine Gerade und ein nicht auf dieser Geraden liegender Punkt, dann gibt es genau eine Parallele zu dieser Geraden durch den gegebenen Punkt.

  



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