Die Theorie der elliptischen Funktionen war ein bedeutender
Forschungsgegenstand der Funktionentheorie des 19. Jahrhunderts.
Ein Stein zum Anstoss zur Entwicklung dieser Theorie war das Problem,
den Umfang einer Ellipse zu berechnen. Bei seiner
Berechnung stösst man auf Integrale, die man 'elliptische
Integrale' genannt hat, die man auf elementare Weise nicht lösen kann.
Ein erstes Beispiel eines solchen elliptischen Integrals ist 1718 von
G.C. Fagnano betrachtet worden, und zwar
in Zusammenhang mit dem Problem der Lemniskatenverdopplung. Dieses
Integral induziert eine Funktion, zu der man die Umkehrfunktion
betrachten kann.
N. H. Abel hatte neben einer reellen Periode zu dieser
Funktion eine weitere (und zwar
komplexe) Periode entdeckt. Man wird damit durch das Betrachten
elliptischer Integrale auf das Studium doppeltperiodischer meromorpher
Funktionen ( der elliptischen Funktionen) geführt.
Karl Weierstrass war es, der den umgekehrt konzipierten Zugang
entwarf. Ausgangspunkt sind bei ihm die elliptischen
Funktionen, vor allem die nach ihm benannte p-Funktion, die im
Mittelpunkt seiner Theorie steht. Jede elliptische
Funktion lässt sich als rationale Funktion in der p-Funktion
und ihrer Ableitung schreiben. Die Thematik der Umkehrung
der elliptischen Funktionen fürt auf die elliptischen
Integrale. So ist es möglich, das Problem der
Lemniskatenverdopplung auf das Additionstheorem für die
p-Funktion zu reduzieren.
Mit diesem Stoff soll sich das Seminar zur Funktionentheorie befassen.
Jeder, der Funktionentheorie 1 irgendwann gehört
hat, kann daran teilnehmen unabhängig davon, ob er die
Vorlesung Funktionentheorie II hört oder nicht.
Denen, die die Vorlesung Funktionentheorie II hören und
dort einen Schein machen wollen, sollen im
Seminar die Möglichkeit dazu erhalten, ohne dass sie einen
Vortrag zum Thema elliptische Funktionen halten
müssen.
Die technischen Einzelheiten sollen zu Beginn des Wintersemesters
besprochen werden.
Eine erste Vorbesprechung zum Seminar soll am Mittwoch, den 20.
Oktober 04 im Seminarraum D. 13. 11 stattfinden, Uhrzeit
13 Uhr s.t.
gregor@math.uni-wuppertal.de