Bergische Universität GH Wuppertal

Arbeitsgebiet
 

Thema der Papers sind Fragen aus den folgenden beiden Gebieten:
 

A)   Bergmantheorie und invariante Metriken (english version)

Im Jahre 1907 entdeckte H. Poincare, dass im 2-dimensionalen komplexen Raum keine bihlomorphe Abbildung zwischen der Einheitskugel {z  |  |z|<1} und dem Einheitsdizylinder {z|  |z₁| , |z₂|<1} möglich ist.

Eine Idee, ein solches Resultat zu zeigen, ist,  geeignete Gebietsfunktionale  zu verwenden, die unter biholomorphen
Abbildungen invariant bleiben und die man bei der Kugel und dem Polyzylinder berechnen kann. Die invarianten Metriken
sind solche Gebietsfunktionale.

Im Jahre 1927 führte C. Caratheodory erstmals eine auf Gebieten in Dimension 2 definierte und heute nach ihm benannte Distanzfunktion ein, welche die Poincare-Distanz des Einheitskreises in der richtigen Weise verallgemeinert.

Diese Distanzfunktion wird unter holomorphen Abbildungen verkleinert (Schwarz-Pick-Lemma) und bleibt
insbesondere unter biholomorphen Abbildungen invariant.

Zuvor (1921) hatte S. Bergman auf Gebieten D die nach ihm benannte Kernfunktion in die Funktionentheorie eingeführt. Sie ist Integralkern
des Orthogonalprojektors P_D des Raumes L²(D) der (bezgl. des Lebesguemaßes) quadratintegrablen Funktion auf den (abgeschlossenen) Unterraum H²(D) der holomorphen Funktion aus L²(D) .

Ihr Transformationsverhalten  unter biholomorphen und eigentlichen holomorphen Abbildungen hat diese Größen vor allem ab Mitte der 70-er Jahre zum bedeutendsten Hilfsmittel für das Studium der Glattheit solcher holomorphen Abbildungen bis zum Rand zwischen geeigneten Gebietsklassen werden lassen.

Der Bergmankern auf der Diagonalen in DxD ist logarithmisch streng plurisubharmisch, und damit wird log K_D(z,z) Potential einer Kählermetrik (Bergmanmetrik), welche unter Biholomorphismen invariant bleibt.

Will man also untersuchen, ob zwei pseudokonvexe Gebiete biholomorph zueinander sein können,  kann man zum Beispiel
das Randverhalten der Bergman-Kernfunktion und -Metrik zu bestimmen versuchen. Zeigen diese Größen bei den beiden
Gebieten zu unterschiedliches Randverhalten, können sie nicht zueinander biholomorph äquivalent sein.

Die besten Resultate zum Randverhalten von Bergmankern und -metrik hat man bei streng pseudokonvexen und speziellen schwach pseudokonvexen Gebieten (etwa den Gebieten vom endlichen Typ in 2 Dimensionen oder den konvexen Gebieten).

Interessant und wichtig ist es daher, entsprechende Ergebnisse auch für allgemeinere Klassen schwach pseudokonvexer Gebiete zu erzielen.

Hierbei ist das Studium geometrischer und analytischer Invarianten bei pseudokonvexen Hyperflächen von großem Nutzen.
 

B)  Plurikomplexe Greenfunktionen

In neuerer Zeit hat die 1985 von M. Klimek eingeführte plurikomplexe Greenfunktion für das Studium der Bergman-Kernfunktion große Bedeutung gewonnen, da sie einen logarithmischen Pol in einem Punkt w in D hat. Von großem Interesse sind insbesondere Lokalisierung und Verhalten der Subniveaumengen, wenn w einem Randpunkt zustrebt, da diese die optimalen inneren Vergleichsgebiete für das Studium des Bergmankerns und der Bergmanmetrik darstellen.

Erste (qualitative) Ergebnisse wurden hierbei für recht allgemeine Gebietsklassen erzielt (s. [19,22,23] des Schriftenverzeichnisses)