Seminar zur Fourieranlysis

SS 08

Gregor Herbort

 
 
Die Fourieranalysis zerfällt in 2 grosse Zweige: Die Theorie der Fourierreihen und die Theorie der Fouriertransformation. Sie hat ihren Namen zum Andenken an Joseph Fourier, (1768-1830), der bedeutende Beiträge zur Theorie der trigonometrischen Reihen geleistet hatte. Ziel seiner damaligen Studien war die Beschreibung der Ausbreitung der Wärme in einem Stab, also eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Erste Ergebnisse stammen aus der Zeit 1807-1811.
Fouriers revolutionäre Aussage war, dass jede stetige periodische Funktion durch eine trigonometrische Reihe darstellbar sei. Dabei gab Fourier bereits die Koeffizienten der Reihe explizit an. Es hat sich aber gezeigt, dass es, soll seine Aussage richtig sein, darauf ankommt, wie die Konvergenz der trigonometrischen Reihe gemeint sein soll.
In dem Seminar sollen verschiedene Konvergenzbegriffe für trigonometrischen Reihen behandelt werden. So hat man etwa stets Konvergenz im quadratischen Mittel, sofern die darzustellende Funktion nur quadratintegrabel ist, soll aber die ''Fourierreihe'' gleichmässig gegen die Funktion konvergieren, reicht Stetigkeit der Funktion allein nicht aus.

Die Fouriertransformation ist eine Integraltransformation, welche in Physik und Technik grosse Bedeutung erlangt hat, ebenso bei der Handhabung partieller Differenzialgleichungen und bei Regularitätsfragen für deren Lösungen. Handelte die Theorie der Fourierreihen von der Spektralzerlegung periodischer Funktionen in Sinus-und Cosinusfunktionen, kann man die Fouriertransformation als eine Spektralzerlegung aperiodischer Funktionen deuten.
In dem Seminar sollen die Grundlagen der Fouriertransformierten studiert werden. Die Fragen aus der Fourieranalysis haben auch die Entstehung und Entwicklung anderer Zweige der Mathematik inspiriert. So wurde etwa G. Cantor, der Begründer der Mengenlehre, durch Betrachtungen über die Frage der eindeutigen Darstellbarkeit von Funktionen durch konvergente trigonometrische Reihen zu seiner heute wohlbekannten Konstruktion des Systems der reellen Zahlen geführt.

 
 

Vortragsprogramm:


  Datum
Vortrag
Vortragender
 
 

 
08/15/22.04.08         1: Allgemeine Hilberträme

 
Th. Timm
29.04./06.05.08        2: Konvergenz einer Fourierreihe

 
T. Petroccia
20.05.08        3: Das Cesaro-Mittel

 
T. Aslan
03.06.08        4: Dini-Bedingung und Abel-Summierbarkeit

 
W. Peternell
10/17.06.08        5: Gibbs-Phänomen und Divergenz bei Fourierreihen

 
T. Sackmann
17/24.06.08        6: Die Fouriertransformierte

 
T.Aslan - T.Petroccia

 

gregor@math.uni-wuppertal.de,