[figure: A; B; Z; +5V]

Abbildung 1.16: Relaisschaltung: AND

[figure: A; B; +U_{B}; Z; 5kΩ]

Abbildung 1.17: DL bzw. DTL (positive Logik): AND

[figure: b; c; e; b; c; e; A; B; +U_{B}; Z]

Abbildung 1.18: RTL insbes. DCTL: NAND

[figure: NOT; A; +U_{B}; Z; 30 ns; b; e; c]

Abbildung 1.19: DTL, Dioden-Transistor-Logik: NOT

[figure: NAND; A; B; +U_{B}; Z; 10 ns; b; e; e; c; b; c; e]

Abbildung 1.20: TTL, Transistor-Transistor-Logik: NAND

[figure: A; OR; e; b; c; e; b; c; e; b; c; B; +U_{Ref}; Z; +U_{B}; 0,5 ns]

Abbildung 1.21: ECL: OR

Welche Gatter braucht man, um alle möglichen Logikverknüpfungen aufzubauen?

• AND, OR, NOT: Hier ist ein Gatter redundant, denn aus den Morganschen

Gesetzen erhält man

NOT(A AND B) = (NOT A) OR (NOT B).

Speicherbausteine können durch Kippstufen realisiert werden:

[figure: s; r; z; z̄; s; r; NOR; NOR; ≥ 1; ≥ 1; z; z̄; set; reset]

Abbildung 1.22: Speicher = Flipflops = bistabile Kippschaltungen RAM random access memory

1. Informationsverlust bei Stromausfall bei Halbleiter-RAMs, nicht bei Kernspeicher

2. Arten:

• statisch: SRAM, TTL, Flipflops

• dynamisch: DRAM, CMOS, interne Kapazität wird zur Speicherung genutzt, dadurch ist etwa alle 2ms ein Auffrischen nötig

ROM read only memory, Nur-Lese-Speicher 1. Inhalt überlebt Stromausfall

2. nur einmalig im Werk (bei Fertigung) programmierbar

3. (deshalb:) nur in großen Stückzahlen rentabel EPROM erasable programmable ROM

1. Inhalt überlebt Stromausfall

2. einige Male durch starke Ultraviolettstrahlen lösch- und danach mit +27V neu programmierbar

3. (deshalb:) in kleinen Stückzahlen rentabel EEPROM electrical erasable programmable ROM

1. Bei einer entsprechenden Konstruktion ist jedes Bit einzeln löschbar 2. elektrisches Löschen

3. ca. 50 oder heute 10^{4} − 10^{5} mal änderbar NVRAM non volatile RAM

1. etwa das im PC vorhandene batteriegebufferte Memory-Modul im Uhr-Chip zur Aufnahme der aktuellen Hardware-Konfiguration

2. oft ein EEPROM Realisierung von Speicherzellen: SRAM: TTL

[figure: X; X; Y; +5V; +5V; +5V; Q; Q̄; R_{C1}; R_{C2}; T_{1}; T_{2}; +0,2V; SL_{2}; SL_{1}; Y; +U_{S}; I_{E2}]

SRAM: N-MOS

[figure: X; X; Y; Y; SL_{1}; SL_{1}; SL_{2}; SL_{2}; Q; Q; Q̄; Q̄; +U_{S}; T_{1}; T_{2}; T_{3}; T_{4}; T_{5}; T_{6}; T_{7}; T_{8}]

RAM-Speichermatrix:

[figure: Q; Q; Q; Q; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; Q; Q; Q; Q; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; Q; Q; Q; Q; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; Q; Q; Q; Q; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; \overline{Q}; Y_{0}; Y_{1}; Y_{2}; Y_{3}; Y_{0}; Y_{1}; Y_{2}; Y_{3}; Y_{0}; Y_{1}; Y_{2}; Y_{3}; Y_{0}; Y_{1}; Y_{2}; Y_{3}; X_{1}; X_{0}; X_{1}; X_{0}; X_{1}; X_{0}; X_{1}; X_{0}; X_{3}; X_{2}; X_{1}; X_{0}; Y_{0}; Y_{1}; Y_{2}; Y_{3}; X_{3}; X_{3}; X_{3}; X_{3}; X_{2}; X_{2}; X_{2}; X_{2}; \overline{Q}; Q; Y-Koordinaten-Leitungen; SL_{1}; SL_{2}; SL_{1}; SL_{2}; Lese-; ausgänge; Schreibeingänge; X-Koordinaten-; Leitungen]

DRAM:

[figure: T_{1}; T_{2}; T_{3}; C; X; X; A; B; L; L; Leseauswahl-Leitung; Schreibauswahl-Leitung; Dateneingabe; A; B; Schreibleitung; Leseleitung; Datenausgabe; (Y-Auswahl-Leitung); (Y-Auswahl-Leitung); 1 ˆ= + 5V; 0 ˆ= 0V, Masse]

ROM:

[figure: Speicherzelle mit Inhalt 1; Speicherzelle mit Inhalt 0; X-Adreß-; Decodierer; X-Koordinatenleitungen; A_{0}; A_{1}; A_{2}; A_{3}; A_{4}; A_{5}; Datenleitungen; (Y-Koordinatenleitungen); Y-Adreß-Decodierer; Datenausgang]

[figure: Leitung; X-Koordinaten-; Datenleitung; Leitung); (Y-Koordinaten-; für 1; fehlt; Transistor; Speicherelement; (Y-Koordinaten-; für 0; Leitung; X-Koordinaten-; Datenleitung; Leitung); Speicherelement]

PROM:

[figure: Adreß-; Eingänge; A_{0}; A_{1}; A_{2}; X-Adreß-; Dekodierer; D_{0}; D_{1}; D_{2}; D_{3}; D_{4}; D_{5}; D_{6}; D_{7}]

EPROM:

[figure: X; X-Koordinaten-; Leitung; Y; Y-Koordinaten-; Leitung und; Datenleitung; Z; (+5V); (+5V); T_{1}; T_{2}; D; S; Auswahl-; Transistor; Speicher-; Transistor; (0V)]

1.2.2.3 Vorzeichenlose ganze Zahlen

Wortlänge  Zahlenwerte
Bit  0...1
Byte  8 Bit 0...2^{8} − 1 = 255
Halbwort  16 Bit 0...2^{16} − 1 = 65535
Wort  32 Bit 0...2^{32} − 1 = 4 294 967 295
Doppelwort 64 Bit 0...2^{64} − 1 = 18 446 744 073 709 551 615
Quadwort 128 Bit 0...2^{128} − 1

= 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 455

Kurzschreibweise für lange Binärfolgen:

1011 1010_{2} dual
\o272  oktal
\xBA  hexadezimal

Es besteht die Möglichkeit, vorzeichenlose ganze Zahlen im Stellenwertsystem zur Basis b darzustellen. Dazu sei x ∈ ℕ. Dann gilt für beliebiges b ∈ ℕ \ {0, 1}:

i := 0; Wiederhole

z_{i} := x rem b; x := x div b; i := succ (i); bis ( x = 0 )

liefert die Stellen von x zur Basis b:

x = ∑_{i=0}^{k} z_{i}b^{i}

Aufgabe 1.3

1. Beweise die Korrektheit des angegebenen Verfahrens.

2. Wie berechnet man den Wert von (z_{N} ⋯ z_{2}z_{1}z_{0})_{b} ? (Hinweis: Man benutze das Horner-Schema

(… ((z_{k} · b + z_{k−1}) · b + z_{k−2}) · b + …) · b + z_{0}

und gebe den entsprechenden Pseudocode an.)

1.2.2.4 Addition statt Subtraktion

Wie berechnet man 1236 + 995? Nach einer Kopfrechenregel rechnet man

1236 + \underbrace{1000 − 5}_{=995} = 2236 − 5 = 2231,

d.h. man rechnet

\underbrace{1236 − 5}_{Subtraktion} = \underbrace{1236 + 995}_{Addition} − \underbrace{1000}_{Korrektur} .

Eine noch bessere Methode – insbesondere für den Computer – ist die Benutzung der Zehnerkomplements, d.h. man rechnet

1236 − 5 = \underbrace{1236}_{4stellig} + \underbrace{9995}_{4stellig} −10000

und kann wegen des Korrekturterms den Übertrag in der 5. Stelle einfach vergessen.

Definition 1.1

Das ((N+1)-stellige) 10er-Komplement von ∑_{i=0}^{N} y_{i}·10^{i}, y_{i} ∈ {0, …, 9} ist definiert als

10^{N+1} − ∑_{i=0}^{N} y_{i} · 10^{i}

Es kann entweder durch eine (N + 2)-stellige Subtraktionen oder durch Bestimmung des 9er Komplements mit anschließender Korrekturaddition mit 1 bestimmt werden.

Definition 1.2

Das ((N +1)-stellige) 9er-Komplement von ∑_{i=0}^{N} y_{i} ·10^{i}, y_{i} ∈ {0, …, 9} ist definiert

als

∑_{i=0}^{N} 9 · 10^{i} − ∑_{i=0}^{N} y_{i} · 10^{i} = ∑_{i=0}^{N}(9 − y_{i}) · 10^{i}

Es kann durch (N + 1) 1-ziffrige Subtraktionen bestimmt werden.

Bemerkung 1.1 9er-Komplement und 10er-Komplement sind selbstinvers.